云南省丽江市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 \geq 0} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 移动支付技术的进步给人们的生活带来了巨大的便利，很多人出门已经习惯了不带现金，达到“一机在手，天下我有”的境界.某超市某日采用手机支付的老､中､青三个年龄段的顾客共1250人，其比例如图所示，则估计该超市该日采用手机支付的青年人的人数约为（）

A、375 B、680 C、688 D、698

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3. 设命题 $p ： \forall x > 0$ ， $\log_{2} x < 2 x + 3$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $\log_{2} x \geq 2 x + 3$ B、 $\exists x > 0$ ， $\log_{2} x \geq 2 x + 3$ C、 $\exists x > 0$ ， $\log_{2} x < 2 x + 3$ D、 $\forall x < 0$ ， $\log_{2} x \geq 2 x + 3$

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4. 已知 $b < a < 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $b^{2} < a b$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 设 $x \in R$ ，则“ $| x - \frac{1}{2} | < \frac{1}{2}$ ”是“ $x^{3} < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知命题 $p : \forall x > 0$ , $\ln (x + 1) > 0$ ；命题 $q :$ 若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ，下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land \neg q$ C、 $\neg p \land q$ D、 $\neg p \land \neg q$

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8. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x \leq 3 \\ x + y \geq 2 \\ y \leq x \end{matrix}$ ，则x+2y的最大值为（　　）

A、1 B、3 C、5 D、9

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9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $a = - 1$ ，则输出的 $S =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{18}$ D、 $\frac{1}{14}$

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A ， B ，$ 左焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F ⊥ x$ 轴，过点 $A$ 的直线 $l$ 与线段 $P F$ 交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，直线 $M B$ 与 $y$ 轴交于点 $H$ ，若 $O N = 2 O H$ ( $O$ 为坐标原点)，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ ．

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14. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线经过双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的一个焦点，则 $p =$ .

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} ， x \geq 0 \\ \log_{a} (x^{2} + a^{2}) ， x < 0 \end{array}$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若 $f (2) = 9$ ，则 $f (- 2) =$ .

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16. 在三棱锥 $S - A B C$ 中，已知 $S B ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $S B = A C = \sqrt{3}$ ， $A B = B C = 1$ ，则该三棱锥的外接球的体积为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边.若 $c \sin A = \sqrt{3} a \cos C .$

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{21} ，$ 且 $b = 5 a$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且满足 $a_{2} = 5$ ， $a_{4} + a_{6} = 22$ .数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. “俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢､腰部及腹部的肌肉.某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据.分析发现他能完成“俯卧撑”的个数 $y$ (个)与坚持的时间 $x$ (周)线性相关.

$x$

1

2

4

5

$y$

5

15

25

35

参考公式： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ 表示样本平均值.

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}$ ；

(2)、预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数.

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20. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = P B = A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P C = 2 \sqrt{6}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ .

(1)、求证：平面 $P E C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，点 $A (- 2 ， 0)$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程与离心率；

(2)、设椭圆 $C$ 上不与 $A$ 点重合的两点 $D$ ， $E$ 关于原点 $O$ 对称，直线 $A D$ ， $A E$ 分别交 $y$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点．求证：以 $M N$ 为直径的圆被 $x$ 轴截得的弦长是定值．

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间 $[2, 3]$ 上有最大值4和最小值1.设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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$x$	1	2	4	5
$y$	5	15	25	35