西藏日喀则市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $x ， y \in R$ ，则“ $x > 0$ ， $y < 0$ ”是“ $x y < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - \sqrt{2} a b$ ，则角 $C$ 的大小为（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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3. 已知 $x$ ， $y \in (0 ， + \infty)$ ，且满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} = 1$ ，那么 $x + 4 y$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $3 + \sqrt{2}$ D、 $3 - \sqrt{2}$

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4. 设 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最小值是（）

A、14 B、-4 C、10 D、4

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5. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （其中a＞b＞0）的离心率为 $\frac{3}{5}$ ，两焦点分别为F₁ ， F₂ ， M为椭圆上一点，且△F₁F₂M的周长为16，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ 相切，则此双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 在△ABC中， $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{\sin (A + B)}{\sin (A - B)}$ ，则△ABC的形状是（）

A、等腰三角形但一定不是直角三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形但一定不是等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n - 1$ ，则 $a_{2017} =$ （）

A、2020 B、2018 C、2019 D、2021

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 与等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n - 1}{2 n + 3}$ ，则 $\frac{a_{10}}{b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{40}{41}$ C、 $\frac{56}{41}$ D、 $\frac{29}{21}$

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10. $M$ 在不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 \\ 3 x + 4 y \geq 4 \\ y - 3 \leq 0 \end{array}$ 所表示的平面区域上，点 $N$ 在曲线 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 = 0$ 上，那么 $| M N |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3} + 1$

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11. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} - x y + y^{2} = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值为（）

A、-1 B、2 C、1 D、-2

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12. 双曲线的虚轴长为4，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是它的左右焦点，若过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左支交与A，B两点，且 $| A B |$ 是 $| A F_{1} |$ ， $| A F_{2} |$ 的等差中项，则 $| B F_{1} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $c = 2 ， ∠ A = 120^{0} ， a = 2 \sqrt{3}$ ，则 $∠ B =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 0$ ，则 $\frac{S_{6}}{a_{5}}$ 的值为.

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15. 抛物线 $y^{2} = a x$ （ $a > 0$ ）上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则 $a =$ .

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16. 已知四个函数① $y = x + \frac{1}{x}$ ；② $y = | x + \frac{1}{x} |$ ；③ $y = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2} + 2}$ ；④ $y = \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - 1$ ，其中函数最小值是2的函数编号为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 c - b) \cos A = a \cos B$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小：

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a^{2} - 3 c^{2} = a c ， s i n A c o s C = s i n C (2 - c o s A)$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径是 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 设 $S_{n}$ 是正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + \frac{1}{2} a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n}$ ，设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ $(n \geq 1)$ ，

(1)、设 $b_{n} = a_{n} - 1$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求证：数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} < \frac{1}{3}$ ．

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点为 $O$ ，焦点坐标为 $(\frac{1}{2} ， 0)$ ．

(1)、求抛物线方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 且斜率为1的直线 $l$ 与抛物线交于 $P$ ， $Q$ 两点，求线段 $| P Q |$ 的值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l ： x - y - 1 = 0$ 椭圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $△ O A B (O$ 为坐标原点)的面积 $S$ .

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