四川省泸州市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $x + a y + 1 = 0$ 和直线 $2 x - y + 1 = 0$ 互相平行，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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2. 若 $a > b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $\ln a > \ln b$

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3. 已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为 $F (1 ， 0)$ ，长轴长为4，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$

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4. “ $m > 0$ ”是方程“ $x^{2} + m y = 0$ ”表示抛物线的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若命题 $p ： \forall a \in (0 ， 1)$ ， $a^{2} < 0$ ；命题 $q ： \exists m_{0} \in R$ 使直线 $y = m x + 1$ 的倾斜角为 $π$ ．则下列判断正确的是（）

A、 $p$ 是假命题 B、 $p \land (\neg q)$ 是真命题 C、 $q$ 是真命题 D、 $(\neg p) \land q$ 是真命题

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点到其渐近线的距离为（）

A、2 B、4 C、3 D、5

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7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 $N$ 的值为20，则输出 $T$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 B C = 2$ ，若此长方体的八个顶点都在体积为 $\frac{9 π}{2}$ 的球面上，则此长方体的体积为（）

A、20 B、16 C、8 D、4

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9. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（）

A、 $\frac{a^{2}}{(1 - p) r^{2}}$ B、 $\frac{a^{2}}{(1 + p) r^{2}}$ C、 $\frac{a}{(1 - p) r}$ D、 $\frac{a}{(1 + p) r}$

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（）

A、6 B、21 C、27 D、54

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11. 设 $O$ 为坐标原点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点，若双曲线上存在点 $P$ ，满足 $∠ P F_{1} F_{2} = \frac{π}{3}$ ， $\vec{O P} \cdot \vec{P F_{1}} = 0$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{11}}{2}$ D、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{3}$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $O$ ， $M$ 分别为 $B D$ ， $E F$ 的中点，对于下列四个结论：
①二面角 $A_{1} - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ；②三条直线 $B F$ ， $C C_{1}$ ， $D E$ 有公共点；③直线 $A_{1} C$ 上存在点 $N$ 使 $M$ ， $N$ ， $O$ 三点共线；④直线 $O F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为2．

其中错误结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 3 \\ y \leq 1 \\ x + y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值等于.

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14. 已知圆锥的体积等于 $9 \sqrt{3} π$ ，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面圆半径为.

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15. 如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两位同学五次音乐素养的测试成绩，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是.

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16. 设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y + 2 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - m + 4 = 0$ 交于点 $P (x ， y)$ ，则 $| P A | + | P B |$ 的最大值是.

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三、解答题

17. 某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（ $x$ 个月）市场占有率 $(y %)$ 的几组相关对应数据：

$x$

1

2

3

4

5

$y$

2

5

11

14

18

根据上表中的数据完成下列问题：

附：最小二乘法估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) \cdot (y_{i} - \bar{y})}{{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10$ .

(1)、用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%（精确到月）.

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18. 已知函数 $f (x) = (x - k) (x - 4)$ ，其中 $k \in R$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、对任意 $x \in [1 ， 3]$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 4 k - 5$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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19. “青年大学习”是共青团中央为持续引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神组织的青年学习行动．某市宣传部门为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取2000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（时间单位：分钟），下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．

（Ⅰ）如果该市有20万名青年，根据频率分布直方图，估计全市每周利用“青年大学习”进行学习的时长不低于60分钟的青年有多少人？

（Ⅱ）市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年召开一个座谈会，并作交流发言．办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在 $[80 ， 90)$ 和 $[90 ， 100]$ 的青年中抽取7人，且从参会的7人中又随机抽取2人发言，求学习时长在 $[90 ， 100]$ 中至少有1人被抽中发言的概率．

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20. 已知曲线 $C$ 上的任意一点到点 $F (0 ， 1)$ 的距离与到直线 $y + 2 = 0$ 的距离小1．
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆过点 $O$ ，求证：直线 $l$ 过定点．

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21. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是菱形， $S A = S C$ .

(1)、求证：平面 $S B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P$ 是侧棱 $S D$ 上异于端点的一动点，试问在侧棱 $S D$ 上是否存在一点 $E$ 使 $B E //$ 平面 $A C P$ ，若存在，求 $\frac{P D}{E D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a < b < 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ，点 $P (2 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在椭圆 $C$ 上．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的顶点坐标；

（Ⅱ）若等轴双曲线 $N$ 的顶点分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，设 $Q$ 为该双曲线 $N$ 上异于顶点的任意一点，直线 $Q F_{1}$ 和 $Q F_{2}$ 与椭圆 $C$ 的交点分别为 $E$ ， $F$ 和 $G$ ， $H$ ，求 $| E F | + 4 | G H |$ 的最小值．

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$x$	1	2	3	4	5
$y$	2	5	11	14	18