四川省广安市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $\sin x \leq 1$ ，则（）

A、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $\sin x > 1$ B、 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} > 1$ C、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $\sin x \geq 1$ D、 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} \geq 1$

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2. 直线 $l ： \sqrt{3} x - 3 y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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3. △ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1 (x \neq \pm 3)$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1 (x \neq 0)$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (y \neq 0)$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y \neq 0)$

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4. “ $a = 2$ ”是“直线 $2 x + a y = 2$ 与直线 $a x + 2 y = 1$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是 $($ $)$

A、1 B、10 C、19 D、28

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6. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} x- 4 y + 6 = 0 ， C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ ，则两圆的位置关系为（）

A、相离 B、外切 C、相交 D、内切

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7. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示， $\bar{x_{1}}$ ， $\bar{x_{2}}$ 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数， $s_{1}$ ， $s_{2}$ 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）

A、 $\bar{x_{1}} > \bar{x_{2}}$ ， $s_{1} < s_{2}$ B、 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ， $s_{1} < s_{2}$ C、 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ， $s_{1} > s_{2}$ D、 $\bar{x_{1}} < \bar{x_{2}}$ ， $s_{1} > s_{2}$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点和右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A$ ， $B$ 两点， $Δ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{1}$ ， $Δ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，若 $r_{1} = 2 r_{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 用秦九韶算法计算多项式 $f (x) = 2 x^{7} + 2 x^{6} + 3 x^{5} + 6 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} - 5 x + 8$ 当 $x = 2$ 的值时，其中 $v_{3}$ 的值为（）

A、15 B、36 C、41 D、77

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10. 已知斜率为2的直线l过抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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11. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）.

A、是对立事件 B、都是不可能事件 C、是互斥事件但不是对立事件 D、不是互斥事件

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12. 已知 $x \in R ， t \in R ， [t]$ 表示不大于1的最大整数，如 $[0.49] = 0 ， [0.51] = 0 ， [- 0.49] = - 1$ ， $f (x + 1) = f (x - 1)$ ．若 $x \in [- 1$ ， $1]$ ，则 $f (x) = \frac{1}{2} - | x |$ ， $D = {(x$ ， $y) | {(x - [t])}^{2} + y^{2} ⩽ \frac{1}{4}$ ， $t \in [- 1$ ， $3]}$ ，当 $(a ， b) \in D$ 时 $f (a) \leq b$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3 π}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{5 π}$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{5 π}$

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二、填空题

13. 若圆 $C ： x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 关于直线 $l ： x + y = 0$ 对称，则 $D + E =$ ．

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14. 将二进制数 ${(1011)}_{2}$ 化为十进制结果为

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15. 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率为．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过定点 $C (0 ， 1)$ 作直线与抛物线 $x^{2} = 2 y$ 相交于 $A ， B$ 两点，若点 $N$ 是点 $C$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点，则 $△ A N B$ 面积的最小值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知顶点 $A 、 B 、 C$ 的坐标分别为 $A (- 1 ， 1) ， B (2 ， 0) ， C (1 ， 2)$ . $A B$ 边上的高所在的直线为 $l$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、求 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 截得的弦长.

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18. 某商家为了对该城市某种商品加强销售监管，随机选取了1000人就该城市该商品的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值(百分制)按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ，…， $[90 ， 100]$ 分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

(1)、求图中 $x$ 的值，并求出满意度评分值在 $[90 ， 100]$ 的人数；

(2)、若调查的满意度评分值的平均数、中位数均超过75则可在该城市继续推销该商品，试判断该城市能否继续推销该商品.

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19. 已知点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l ： x = - 1 ， P$ 为平面上的动点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$ ，且 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q F} = \vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$ .若 $\vec{M A} = λ_{1} \vec{A F}$ ， $\vec{M B} = λ_{2} \vec{B F} (λ_{1} \in R ， λ_{2} \in R)$ ，求 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值.

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20. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，广安市某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有255户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
年份代码x	1	2	3	4	5
脱贫户数y	25	30	35	45	60

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$

(1)、根据2015年至2019年的数据，求出

y

关于

x

的线性回归方程

y = \hat{b} x + \hat{a}

，并预测到2020年底该乡镇255户贫困户是否能全部脱贫；

(2)、2019年的新脱贫户中有12户五保户，12户低保户，36户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率.

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21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， A$ 是椭圆上的一点， $A F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，原点 $O$ 到直线 $A F_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{3} | O F_{1} |$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、点 $M$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上任意点，过点 $M$ 做圆的切线交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点.探索 $n$ 关于 $r$ 在 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ 时的函数关系式.

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22. 已知曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ ( $θ$ 为参数)， $C_{2} ： {\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t} \\ y = t - \frac{1}{t} \end{array}$ ( $t$ 为参数) .

(1)、将 $C_{1} ， C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；

(2)、以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线 $l$ 经过 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点，求 $l$ 的极坐标方程.

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23. 记关于 $x$ 的不等式 $| x - a | < 1$ 的解集为 $P$ ，函数 $y = \frac{x}{x^{2} + 2 x + a^{2}} (x > 0)$ 的值域为 $Q$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $P 、 Q$ ；

(2)、若 $Q \subseteq P$ ，求 $a$ 的取值范围.

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