上海市金山区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、填空题

1. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ，则 $| \vec{a} | =$ .

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2. 若行列式 $| \begin{array}{l} m 2 \\ 3 1 \end{array} | = 0$ ，则 $m =$ .

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3. 已知点 $P (- 2 ， - 2)$ 、 $Q (2 ， 2)$ 的直线倾斜角大小为.

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4. 线性方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 1 \\ 2 x + y = 3 \end{array}$ 的增广矩阵为.

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5. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + m y = 1$ 与 $l_{2} ： y = 3 x - 1$ ，若两直线平行，则 $m$ 的值为.

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6. 若直线 $l$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1 ， 2)$ ，且经过点 $P (3 ， - 5)$ ，则直线 $l$ 的一般式方程为.

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7. 焦点在 $x$ 轴上，焦距为6，且经过点 $(\sqrt{5} ， 0)$ 的双曲线的标准方程为.

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x + 3 y \geq 4 \\ 3 x + y \leq 4 \end{array}$ 所表示的平面区域的面积为.

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9. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的点， $| P F_{1} | = 8$ ，若 $M$ 为线段 $P F_{1}$ 的中点，则线段 $O M$ 的长为

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10. 设焦点为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 上的一点 $P$ 也在抛物线 $y^{2} = \frac{9}{4} x$ 上，抛物线焦点为 $F_{3}$ ，若 $| P F_{3} | = \frac{25}{16}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为.

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11. 在平面直角坐标系中，已知 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $O$ 是坐标原点， $M$ 是曲线 $2 | x | + | y | = 4$ 上的动点，则 $\vec{a} \cdot \vec{O M}$ 的取值范围是.

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12. 点 $P$ 在圆 $C ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{9}$ 上移动，点 $Q$ 在椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ 上移动，则 $| P Q |$ 的最大值为.

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二、单选题

13. 直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - t \end{array} (t \in R)$ ．则 $l$ 的方向向量 $\vec{d}$ 可以是（）．

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(1 ， - 2)$

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14. 已知命题 $α$ ：“双曲线的方程为 $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ （ $a > 0$ ）”和命题 $β$ ：“双曲线的两条渐近线夹角为 $\frac{π}{2}$ ”，则 $α$ 是 $β$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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15. 设P是 $Δ A B C$ 所在平面内的一点， $\overset{⇀}{B C} + \overset{⇀}{B A} = 2 \overset{⇀}{B P}$ ，则（）

A、 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} = \overset{⇀}{0}$ B、 $\overset{⇀}{P C} + \overset{⇀}{P A} = \overset{⇀}{0}$ C、 $\overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{0}$ D、 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{0}$

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16. 如图，已知线段 $A B$ 上有一动点 $D$ （ $D$ 异于 $A 、 B$ ），线段 $C D ⊥ A B$ ，且满足 $C D^{2} = λ A D \cdot B D$ （ $λ$ 是大于 $0$ 且不等于 $1$ 的常数），则点 $C$ 的运动轨迹为（）

A、圆的一部分 B、椭圆的一部分 C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角的大小；

(2)、确定实数 $k$ 的值，使 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ .

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 12 = 0$ .

(1)、求圆心 $C$ 的坐标以及半径长；

(2)、求过点 $A (3 ， 5)$ 的圆 $C$ 的切线方程.

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19. 神舟飞船是中国自行研制的航天器，从神舟一号到神舟十一号，都按照预定轨道完成巡天飞行.其中神舟五号的轨道是以地球的中心 $F_{2}$ 为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点 $A$ 距地面200千米，远地点 $B$ 距地面350千米，已知地球半径 $R = 6371$ 千米.

(1)、求飞船飞行的椭圆轨道方程；

(2)、神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为 $L = 2 π b + 4 (a - b)$ ( $a ， b$ 分别为椭圆的长半轴与短半轴的长)，请问：神舟五号飞船平均飞行速度每秒多少千米？(结果精确到0.01千米/秒， $π$ 取3.14)

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20. 设 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点.

(1)、求焦点 $F$ 的坐标及其准线方程；

(2)、若弦长 $| A B | = 6$ ，求此时直线 $l$ 的斜率；

(3)、设抛物线 $C$ 上的点 $S 、 T$ 在其准线上的射影分别为 $S_{1} 、 T_{1}$ ，若 $△ S_{1} T_{1} F$ 的面积是 $△ S T F$ 的面积的两倍，如图所示.求线段 $S T$ 中点 $M$ 的轨迹方程.

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21. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l$ 交双曲线于 $A ， B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的顶点到其渐近线的距离；

(2)、若 $l$ 过原点， $P$ 为双曲线上异于 $A ， B$ 的一点，且直线 $P A ， P B$ 的斜率 $k_{P A} ， k_{P B}$ 均存在，求证： $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为定值；

(3)、若 $l$ 过双曲线的右焦点 $F_{1}$ ，是否存在 $x$ 轴上的点 $M (m ， 0)$ ，使得直线 $l$ 绕点 $F_{1}$ 无论怎样转动，都有 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ 成立？若存在，求出 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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