陕西省渭南市白水县2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 1$ ， $a_{5} = 2$ ，则首项 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、0

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2. 双曲线 $2 x^{2} - y^{2} = 1$ 的实轴长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 若 $x < 0$ ， $M = 5 x^{2} + x + 2$ ， $N = 4 x (x + 1)$ ，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为（）

A、 $M > N$ B、 $M = N$ C、 $M < N$ D、无法确定

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5. 设平面 $α$ 的法向量为 $(1, - 2, λ)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $(2, μ, 4)$ ，若 $α // β$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、2 B、4 C、-2 D、-4

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6. 设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均不为0，且 $a > b$ ， $c < 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $\frac{1}{a b} > \frac{1}{b c}$ C、 $| a | c < | b | c$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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7. “ $x > 0$ ”是“ $\sin x > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $2 \vec{a} + \vec{b}$

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9. 在△ $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 14$ ， $a = 7 \sqrt{2}$ ， $A = 30 °$ ，则此三角形解的情况为（）

A、有两解 B、有一解 C、无解 D、解的个数不能确定

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10. 已知点 $P$ 为抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点，且点 $P$ 到 $x$ 轴的距离比它到焦点的距离小3，则 $p =$ （）

A、3 B、6 C、8 D、12

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11. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， - 2 ， 1)$ ，点 $A (x ， 3 ， 0)$ 在平面 $α$ 内，且 $P (- 2 ， 1 ， 4)$ 到平面 $α$ 的距离为 $\frac{10}{3}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、1 B、11 C、-1或-11 D、-21

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}$ ， $2 a_{2}$ ， $a_{3} + 3$ 成等差数列，且 $a_{n + 1} = λ S_{n} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ， $λ \neq - 1$ ），则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n} - 1$ B、 $2^{n - 1}$ C、 ${(1 + λ)}^{n - 1} - 1$ D、 ${(2 + λ)}^{n - 1}$

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二、填空题

13. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到一个焦点的距离为2，则点 $P$ 到另一个焦点的距离是．

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14. 已知 $t > 0$ ，则函数 $y = 2 t + \frac{2}{t} - 1$ 的最小值为．

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{4} = S_{8}$ ，则当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n$ 的值为．

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16. 过点 $P (2 ， 0)$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ．若 $A$ 、 $B$ 恰好在双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线上，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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三、解答题

17. 解下列关于 $x$ 的不等式；

(1)、 $- 2 x^{2} + 5 x + 7 \geq 0$ ；

(2)、 $\frac{2}{x + 1} > 3$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{3} = 6$ ， $a_{6} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{4} + a_{5}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，

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19. 已知命题 $p$ ：存在实数 $x \in R$ ，使得 $x^{2} - a x + 1 \leq 0$ 成立；命题 $q$ ：对任意实数 $x \in [1 ， 2]$ ，都有 $2 a \geq x + \frac{1}{x}$ 成立．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 是假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $B = \frac{π}{4}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积， $2 S = (a^{2} + b^{2} - c^{2}) \sin C$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若点 $D$ 在直线 $C B$ 上，且 $A D ⊥ A C$ ，求线段 $C D$ 的长度．

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21. 已知椭圆 $E_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $E_{1}$ 上．

(1)、求椭圆 $E_{1}$ 的方程；

(2)、若抛物线 $E_{2}$ 的顶点在坐标原点，焦点在椭圆 $E_{1}$ 的长轴上，且椭圆 $E_{1}$ 的四个顶点到抛物线 $E_{2}$ 准线的距离之和等于6，求抛物线 $E_{2}$ 的方程．

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22. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 1$ ， $A C = A A_{1} = 2$ ， $A D = C D = \sqrt{5}$ ，且点 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{1} C$ 和 $D_{1} D$ 的中点．请用空间向量知识解答下列问题：

(1)、求证： $M N //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A C D_{1}$ 与平面 $A C B_{1}$ 夹角的余弦值．

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