陕西省商洛市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $q ： \exists x \in [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x < 1$ ，则 $\neg q$ 为（）

A、 $\forall x \notin [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$ B、 $\exists x \notin [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$ C、 $\forall x \in [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$ D、 $\exists x \in [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$

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2. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + 3 x - 4 < 0}$ ， $B = {x ∣ 3 + 2 x > - 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 4 < x < - 3}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 4}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ D、 ${x ∣ - 3 < x < 1}$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， λ ， 7)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 6$ 的虚轴长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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5. 已知命题 $p$ ：若直线 $l$ 的方向向量与平面 $α$ 的法向量垂直，则 $l // α$ ，命题 $q$ ：等轴双曲线的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、 $p \land q$ 为真命题 B、 $p \lor q$ 为假命题 C、 $p \lor (\neg q)$ 为真命题 D、 $(\neg p) \land q$ 为真命题

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6. “ $α = 2 k π (k \in Z)$ ”是“ $\sin 2 α = 2 \sin α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 如图在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点记为 $M$ ．设 $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{M B_{1}}$ 相等的向量是（）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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8. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 上一点 $P (4 ， m)$ 到焦点F的距离为（）

A、 $\frac{33}{8}$ B、5 C、 $\frac{257}{8}$ D、33

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9. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $C D = 3$ ， $B D = 5$ ，点 $E$ 在棱 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ，则异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{3 \sqrt{26}}{26}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\sin B = 2 \sin A$ ， $3 c = 4 a + b$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长和高均为2，点 $D$ 为侧棱 $C C_{1}$ 的中点，连接 $A D$ ， $B D$ ，则点 $C_{1}$ 到平面 $A B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆与外接圆的半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 6 r_{1}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{19}{20}$ D、 $\frac{9}{10}$

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二、填空题

13. 若x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ 7 x - 5 y \leq 10 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 4 b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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15. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下 $a_{1}$ 尺，第二天被截取剩下的一半剩下 $a_{2}$ 尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下 $a_{5}$ 尺，则 $\frac{a_{1} + a_{2}}{a_{5}} =$ ．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，直线 $x = b$ 与C的两条渐近线分别交于A ， B两点，过A作圆 $M ： {(x + 2 b)}^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的切线，D为其中一个切点若 $| A D | = | A B |$ ，则C的离心率为．

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 50$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2^{n} - 2 a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 内角A ， B ， C的对边，且满足 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{5}{8} b c ， \sin C = 2 \sin B$ ．

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $6 + \sqrt{15}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知椭圆 $C$ 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，长轴为 $A_{1} A_{2}$ ，且 $| A_{1} A_{2} |$ 等于双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的实轴长， $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为 $C$ 上一动点，且 $P$ 不在坐标轴上，求 $△ P A_{1} A_{2}$ 面积的取值范围．

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20. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，M，N，P分别是 $A D ， D D_{1} ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $M N C / /$ 平面 $A D_{1} P$ .

(2)、求直线 $D P$ 与平面 $M N C$ 所成角的正弦值.

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21. 如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 B C = 2 A B = 6$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ C D$ .

(2)、若 $P C = A D$ ，点E在线段 $C D$ 上，且 $C E = 2 E D$ ，求二面角 $A - P E - C$ 的余弦值.

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 有相同的焦点F．

(1)、求C的方程，并求其准线l的方程；

(2)、如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明： $y_{1} y_{2}$ 为定值，且四边形AMNB为梯形．

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