山西省运城市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} < \frac{1}{2}$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} > \frac{1}{2}$ B、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > \frac{1}{2}$ C、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} ⩾ \frac{1}{2}$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} ⩾ \frac{1}{2}$

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2. 若直线过两点 $(- 1 ， 1)$ ， $(2 ， 1 - \sqrt{3})$ ，则此直线的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、150° D、120°

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3. “ $a > 1 ， b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的焦点到渐近线的距离是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. C为空间任意一点， $A ， B ， C$ 三点不共线，若 $\overset{⇀}{O P}$ = $\frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{O C}$ ，则 $A ， B ， C ， P$ 四点（）

A、一定不共面 B、不一定共面 C、一定共面 D、无法判断

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7. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的圆的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 3$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$

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8. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的弦被点 $(4 ， 2)$ 平分，则这条弦所在的直线方程是（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $5 x + 2 y - 4 = 0$ C、 $x + 2 y - 8 = 0$ D、 $2 x + 3 y - 12 = 0$

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9. 蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： $\frac{x^{2}}{a + 2} + \frac{y^{2}}{a} = 1 (a > 0)$ (a>0)的蒙日圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，a=（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直， $P A = P D = A B = 2$ ， $∠ A P D = 90^{°}$ ，若点 $P 、 A 、 B 、 C 、 D$ 都在同一球面上，则此球的表面积等于（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、12π D、20π

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11. 如图， $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点， $A$ 和 $B$ 是以C为圆心，以 $| O F_{1} |$ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 $Δ F_{2} A B$ 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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12. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A B_{1}$ 的中点， $M ， N$ 分别为线段 $A C_{1}$ 和棱 $C_{1} D_{1}$ 上任意一点，则 $P M + \frac{\sqrt{2}}{2} M N$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的准线方程是．

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14. 已知直线 $x + m y + 6 = 0$ 和 $(m - 2) x + 3 y + 2 m = 0$ 互相平行，则实数m的值为.

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15. 已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，下列命题中：
①若a与b相交，a与c相交，则a与c相交；

②若 $a ∥ b$ ， $b // c$ ，则 $a // c$ ；

③若 $a \subset$ 平面 $a ， b \subset$ 平面 $β$ ，则 $a$ ， $b$ 一定是异面直线；

④若 $a$ ， $b$ 与 $c$ 成等角，则 $a ∥ b$ $a // b$ .

真命题是.（填序号）

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16. 已知直线 $l$ 经过抛物线 $C ： y = \frac{x^{2}}{8}$ 的焦点，与抛物线交于 $A ， B$ ，且 $x_{A} + x_{B} = 8$ ，点D是弧 $\overset{⌢}{A O B}$ （ $O$ 为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线 $l$ 相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为.

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三、解答题

17. 设命题 $p$ ：实数 $m$ 满足 $m^{2} - 6 m + 8 < 0$ ；命题 $q$ ：曲线 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{m - 5} = 1$ 表示双曲线.若p为假命题， $p \lor q$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l ： a x + y + 2 a = 0$ .

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交；

(2)、当直线与 $l$ 圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ，AB=1， $A C = 2$ ， $A A_{1} = 2$ ，D，E分别为BC， $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} D //$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求 $C C_{1}$ 与平面ABE所成角的余弦值.

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20. 已知动圆C过点 $F (1 ， 0)$ ，且与直线 $x = - 1$ 相切.

(1)、求动圆圆心 $C$ 的轨迹方程E；

(2)、已知点 $P (1 ， - 2)$ ， $Q (8 ， 2)$ ，过点 $Q$ 的直线 $l$ 交曲线E于点 $A$ ， $B$ ，设直线PA， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值，并求出此定值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ P C$ ， $A D // B C$ ， $A D ⊥ C D$ ，且 $P C = B C = 2 A D = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ .

(1)、证明：直线 $P A ⊥$ 平面ABCD；

(2)、在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角 $M - A C - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{37}}{37}$ ?如果存在，求 $\frac{P M}{P D}$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆C上一点 $N$ 到左焦点 $F_{1}$ 距离的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ ，过点 $M (3 ， 0)$ 的直线交椭圆C于点A、B.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设 $P$ 为椭圆上一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} = t \vec{O P} (t > 0)$ （ $O$ 为坐标原点），当 $| A B | > \sqrt{3}$ 时，求实数 $t$ 的取值范围.

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