山东省青岛三十九中2021-2022学年九年级上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、（x²+3）²＝9 B、ax²+bx+c＝0 C、x²+3＝0 D、x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ ＝4

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有一个实数根 B、没有实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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3. 观察下列表格，估计一元二次方程x²＋3x－5＝0的正数解在（）

x

－1

0

1

2

3

4

x²＋3x－5

－7

－5

－1

5

13

23

A、－1和0之间 B、0和1之间 C、1和2之间 D、2和3之间

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4. 下列命题中，真命题是（）

A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线互相平分的四边形不一定是平行四边形 D、对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形

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5. 在一个四边形ABCD中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC与BD需要满足的条件是（）

A、垂直 B、相等 C、垂直且相等 D、不再需要条件

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6. 已知已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $3 x^{2} = 6 - 2 x$ 的两根，则 $x_{1} - x_{1} x_{2} + x_{2}$ 的值是（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{3}$ D、7

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8. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点， $E F ⊥ A C$ 交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，下列结论：（1）DC＝3OG；（2）OG＝ $\frac{1}{2}$ BC；（3） $△ O G E$ 等边三角形；（4）S_△AOE＝ $\frac{1}{6}$ S_矩形ABCD ，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 方程x²＝x的解为．

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10. 若a是方程x²+x﹣1＝0的根，则代数式2022﹣3a²﹣3a的值是 .

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11. 某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器250台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是．

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12. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S_菱形ABCD＝48，则OH的长为．

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13. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得 $∠ B ＝ 60 °$ ，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线 $A C ＝ 40 c m$ ，则图1中对角线AC的长为 $c m$ ．

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14. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于B，已知∠EAO＝15°，AC＝6，那么△BOE的面积为．

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15. 关于x的一元二次方程(a＋1)x²－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是.

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16. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

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三、解答题

17. 尺规作图
在三角形内做一个最大的菱形，使A为菱形的一个内角．

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18. 解方程．

(1)、x²﹣2x﹣4＝0（用配方法）；

(2)、2x²+3x﹣1＝0（用公式法）；

(3)、3x+6＝（x+2）²；

(4)、9（x+1）²＝4（2x﹣1）² ．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、若方程的两个不相等实数根是a，b，求 $\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$ 的值.

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20. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．

(1)、设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；

(2)、若此时花圃的面积刚好为45m² ，求此时花圃的长与宽．

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21. 某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元．（直接写出答案）

(2)、该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？

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22. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ $\frac{1}{2}$ AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.

(1)、求证：OE＝CD；

(2)、若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长.

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23. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．

(1)、如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；

(2)、下列说法正确的有；（填写所有符合题意结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．

(3)、如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；

②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．

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24. 如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程 $x^{2} - (\sqrt{3} + 1) x + \sqrt{3} = 0$ 的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2

(1)、求A、C两点的坐标；

(2)、若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)、点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

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x	－1	0	1	2	3	4
x²＋3x－5	－7	－5	－1	5	13	23