广东省揭阳市五校2021-2022学年八年级上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列一组数：﹣8，2.7， $- 3 \frac{1}{2}$ ， $\frac{π}{3}$ ，0.66666…，0，2，0.080080008…（相邻两个8之间依次增加一个0）其中是无理数的有（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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2. 已知 $\sqrt{a - 2} + {(b + 3)}^{2} = 0$ ，则 ${(a + b)}^{2020}$ 的值为（　　）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2020

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3. $\sqrt[3]{64}$ 的平方根是（）

A、2 B、－2 C、 $\pm 2$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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4. 下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（）

A、1，2，3 B、1，1， $\sqrt{2}$ C、2，3，4 D、7，15，17

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5. 如图，矩形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数1的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点，则该点表示的数为（　　）

A、﹣3 B、 $- \sqrt{10}$ C、 $- \sqrt{10}$ +1 D、 $- \sqrt{10}$ ﹣1

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6. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{6} = \sqrt{11}$ B、 $4 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 4$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{7} = \sqrt{21}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$

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7. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 $a ， b ， c$ ，则该三角形的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，现已知∆ $A B C$ 的三边长分别为 $2 ， 3 ， 4$ ，则∆ $A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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8. 如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ $\frac{16}{π}$ ，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 $($ 　　 $)$

A、9cm B、10cm C、11cm D、12cm

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， B C = 6 ， A C = 8$ ，将 $△ A D E$ 沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）

A、 $\frac{19}{8}$ B、2 C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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10. 如图， $O P = 1$ ，过点P作 $P P_{1} ⊥ O P$ 且 $P P_{1} = 1$ ，得 $O P_{1} = \sqrt{2}$ ；再过点P，作 $P_{1} P_{2} ⊥ O P_{1}$ ，且 $P_{1} P_{2} = 1$ ，得 $O P_{2} = \sqrt{3}$ ；又过点 $P_{2}$ 作 $P_{2} P_{3} ⊥ O P_{2}$ 且 $P_{2} P_{3} = 1$ ，得 $O P_{3} = 2 \dots$ 依此法继续作下去，得 $O P_{2021} =$ （　　）

A、 $\sqrt{2023}$ B、 $\sqrt{2022}$ C、 $\sqrt{2021}$ D、 $\sqrt{2020}$

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二、填空题

11. 如果 $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = x - 1$ ，则x的取值范围是．

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12. 若 $\sqrt{a - 3} + \sqrt{3 - a}$ 有意义，则 $a =$ ．

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13. 若一个正整数的两个平方根为2m﹣6与3m+1，则这个数是．

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14. 如图，一木杆在离地面9米处断裂，木杆顶部落在离木杆底端12米处，则木杆折断之前高米．

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15. 如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C ．若 $S_{A} = 24$ ， $S_{B} = 16$ ，则 $S_{C} =$ ．

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16. 动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{6} \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$

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18.

(1)、不使用计算器，估计 $\sqrt{5}$ 的近似值，（精确到0.01）；

(2)、已知 $\sqrt{6} + 1$ 的整数部分为a ，小数部分为b ．求 $\frac{a + 2 b}{2 a}$ 的值．

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19. 如图，已知A、B、D在同一条直线上，且 $∠ A = ∠ D = ∠ C B E = 90 °$ ， $A B = D E$

(1)、求证： $△ C A B ≌ △ B D E$ ；

(2)、若设 $B C = c$ ， $A C = a$ ， $A B = b$ ，试利用这个图形验证勾股定理．

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20. 如图，网格中每个小正方形的边长都为1．

(1)、求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求 $∠ B C D$ 的度数．

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21. 小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路 $A B$ 遇到一座山，于是要修一条隧道 $B C$ ．已知A ， B ， C在同一条直线上，为了在小山的两侧B ， C同时施工，过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量 $∠ A B D = 130 °$ ， $∠ D = 40 °$ ， $B D = 1000$ 米， $C D = 800$ 米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？

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22.

(1)、观察下列各式的特点：
$\sqrt{2} - 1 > \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ > $2 - \sqrt{3}$ ，

$2 - \sqrt{3} > \sqrt{5} - 2$ ，

$\sqrt{5} - 2 > \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ，

…

根据以上规律可知： $\sqrt{2021} - \sqrt{2020}$ $\sqrt{2022} - \sqrt{2021}$ （填“＞”“＜”或“＝”）．

(2)、观察下列式子的化简过程：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ，

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，

$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})}$ ＝ $\sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，

…

根据观察，请写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$ （n≥2，且n是正整数）的化简过程．

(3)、根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式： $| \frac{1}{\sqrt{2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} | + | \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} |$ +| $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}}$ |+•••+| $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{101} + \sqrt{100}}$ |．

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23. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，BD⊥AC交AC于点D ．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．

(1)、求BC上的高；

(2)、当CP⊥AB时，求t的值；

(3)、当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．

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