山西省阳泉市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 3 x$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 3 x$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 3 x$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 3 x$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 3 x$

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2. 对于空间向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (λ ， 4 ， 6)$ ，若 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. “ $(2 x - 3) x = 0$ ”是“ $x = \frac{3}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知动点 $M (x ， y)$ 满足 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 2$ ，则动点 $M$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、直线 C、线段 D、圆

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5. 平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (0 ， 1 ， 1)$ ，则斜线l与平面α所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为 $a ， b$ ，则椭圆的面积公式为 $S = π a b$ .若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，面积为 $8 π$ ，则椭圆的 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{12} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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7. 已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有 $O \bar{M} = x O \bar{A} + \frac{1}{3} O \bar{B} + \frac{1}{3} O \bar{C}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、1 B、0 C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，两条渐近线的夹角为 $60 °$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $2$

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9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，且 $l$ 过点 $(- 3 ， 2)$ ， $M$ 在抛物线 $C$ 上，若点 $N (2 ， 4)$ ，则 $| M F | + | M N |$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $M$ ，上顶点为 $N$ ，右焦点为 $F (c ， 0)$ ，若 $\vec{N M} \cdot \vec{N F} \geq a c$ ，则椭圆的离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \sqrt{2} - 1)$ B、 $(0 ， \sqrt{2} - 1]$ C、 $(\sqrt{2} - 1 ， 1)$ D、 $[\sqrt{2} - 1 ， 1)$

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二、填空题

11. 若方程 $\frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{4 - m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是.

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12. 设{i ， j ， k}是空间向量的单位正交基底， $\vec{a}$ ＝3i＋2j－k ， $\vec{b}$ ＝－2i＋4j＋2k ，则向量a与b的位置关系是.

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13. 写出命题“若 $a \geq 0$ 且 $b \geq 0$ ，则 $a b \geq 0$ ”的逆否命题：．

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14. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 离心率 $e = 2$ ，它的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点相同，则双曲线的方程为.

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16. 在正四面体 $P - A B C$ 中，棱长为2，且E是棱 $A B$ 中点，则 $\overset{⇀}{P E} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值为.

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17. 已知p：“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - x_{0} + a < 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围是.

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18. 已知下列几个命题：
① $△ A B C$ 的两个顶点为 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，周长为18，则C点轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ；

②“ $x > 1$ ”是“ $| x | > 0$ ”的必要不充分条件；

③已知命题 $p ： 3 \geq 3$ ， $q ： 3 > 4$ ，则 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假， $\neg p$ 为假；

④双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = - 1$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ ．其中正确的命题的序号为．

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三、解答题

19. 已知 $△ A B C$ 的三条边为 $a ， b ， c$ ，求证： $△ A B C$ 是等边三角形的充要条件是 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + a c + b c$ ．

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20. 已知点 $M$ 到点 $F (1 ， 0)$ 和直线 $x = - 1$ 的距离相等，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = x - 4$ 与轨迹 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求证： $O A ⊥ O B$ .

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21. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 4$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = a$ ， $\vec{A D} = b$ ， $\vec{A A_{1}} = c$ .

(1)、用 $a$ ， $b$ ， $c$ 表示 $\vec{A E}$ ；

(2)、求 $A E$ 的长.

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22. 已知椭圆 $Ω : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，短半轴长为2.

(1)、求椭圆 $Ω$ 的方程；

(2)、若直线l与椭圆 $Ω$ 相交于A，B两点，点 $P (- 2, 1)$ 是线段AB的中点，求直线l的方程.

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 正方形， $Q A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D // Q A$ ， $Q A = A B = \frac{1}{2} P D$ .

(1)、证明：平面 $P Q C ⊥$ 平面 $D C Q$ ；

(2)、求平面 $P B Q$ 和平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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