山西省太原市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“若 $x = 3$ ，则 $| x | = 3$ ”的否命题是（）

A、若 $x = 3$ ，则 $| x | \neq 3$ B、若 $x = - 3$ ，则 $| x | = 3$ C、若 $x \neq 3$ ，则 $| x | \neq 3$ D、若 $| x | \neq 3$ ，则 $x \neq 3$

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2. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知空间两点 $A (0 ， 1 ， 1)$ 、 $B (1 ， - 2 ， 1)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， 0)$

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4. 已知 $a \in R$ ，那么“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{3} x$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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6. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， 2)$ ， $A \in α$ ，且 $\vec{A B} = (- 4 ， 0 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A B // α$ B、 $A B ⊥ α$ ，垂足为A C、 $A B \cap α = A$ ，但不垂直 D、 $A B \subset α$

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7. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x + 3 > 0$ 的否定是真命题，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < \frac{1}{3}$ B、 $0 < a \leq \frac{1}{3}$ C、 $a \leq \frac{1}{3}$ D、 $a \geq \frac{1}{3}$

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8. 已知 $\vec{a} = (1 - t ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (2 ， t ， t)$ ，则 $| \vec{b} - \vec{a} |$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 从椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点 $F_{1}$ ，点 $A$ ， $B$ 分别为椭圆的右顶点和上顶点.若 $O P / / A B$ ( $O$ 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 设正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为a ， $A C^{'}$ 与 $B D^{'}$ 相交于点O ，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 a^{2}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C^{'}} = \sqrt{2} a^{2}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = \frac{1}{2} a^{2}$ D、 $\vec{B C} \cdot \vec{D A^{'}} = a^{2}$

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11. 已知曲线 $E ： x^{2} + y^{2} \cos α = 1 (α \in [0 ， π))$ ，则下列结论正确的是（）
①当 $\frac{π}{2} < α < π$ 时，曲线E表示双曲线.焦点在x轴上；②当 $α = \frac{π}{2}$ 时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；③当 $0 \leq α < \frac{π}{2}$ 时，曲线E围成图形的面积的最小值为π.

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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12. 已知 $A (2 ， 0 ， 1)$ ， $B (2 ， 2 ， 1)$ ， $C (0 ， 0 ， 2)$ ， $M (2 ， λ ， 2)$ （ $λ > 0$ ），那么点 $M$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{2} λ$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} λ$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 命题“存在实数 $x_{0}$ ，使得 $2^{x_{0}}$ 大于 $3^{x_{0}}$ ”用符号语言可表示为.

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14. 已知双曲线的离心率为 $\sqrt{2}$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为.

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15. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为F ， M是C上一点，FM的延长线交x轴于点N.若M为 $F N$ 的中点，则 $| F N |$ =.

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16. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A C B$ 为等腰直角三角形， $P A = A C = B C = 2$ ，点 $D$ 在 $P C$ 上，且 $C D ： D P = 1 ： 2$ ，则 $P B$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值为.

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三、解答题

17. 已知命题 $p ： | 2 x - 1 | \leq 1$ ； $q ： a - 1 \leq x \leq 2 a (a > 0)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，写出命题“若 $p$ 则 $q$ ”的逆否命题，并判断真假；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 60 °$ ，点M为 $△ A B C$ 的重心， $A M$ 的延长线交 $B C$ 于点N ，连接 $A_{1} M$ .设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ .表 $\vec{A_{1} M}$ ；

(2)、证明： $A_{1} M ⊥ A B$ .

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A、B两点，且 $| A B | = 8$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若点 $P (1 ， y) (y > 0)$ 在抛物线C上，证明：点P关于直线 $y = x - 7$ 的对称点Q也在抛物线C上.

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、设点 $M$ 为 $S C$ 的中点，求异面直线 $A M$ 、 $C D$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $D - S C - B$ 的大小.

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21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S A = A B = B C = 2$ ，设点M为 $S C$ 的中点.

(1)、若四棱锥 $S - A B C D$ 的体积为2，求异面直线 $A M$ ， $C D$ 所成角的余弦值；

(2)、若二面角 $A - D M - C$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A D$ 的长.

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22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $P$ 为圆 $O$ 上的动点， $D P ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $\vec{D M} = \frac{3}{2} \vec{D P}$ ，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $l ： y = x + 2$ 与曲线 $E$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $N$ 为曲线上不同于 $A$ 、 $B$ 的一点，求 $△ N A B$ 面积的最大值.

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23. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点P为圆O上的动点， $D P ⊥ x$ 轴，垂足为D ，若 $\vec{D M} = \frac{3}{2} \vec{D P}$ ，设点M的轨迹为曲线E.

(1)、求曲线E的方程；

(2)、直线 $l ： y = \frac{1}{2} x + \sqrt{5}$ 与曲线E交于A ， B两点，N为曲线E上任意一点，且 $\vec{O N} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B} (λ ， μ \in R)$ ，证明： $λ^{2} + μ^{2}$ 为定值.

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