山西省吕梁市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = - \frac{1}{2} x$ 的准线方程是（）

A、 $x = \frac{1}{8}$ B、 $y = \frac{1}{8}$ C、 $x = - \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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2. 命题“若 $| x | + | y | \neq 0$ ，则 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ ”的逆命题是（）

A、若 $| x | + | y | = 0$ ，则 $x = 0$ 且 $y = 0$ B、若 $| x | + | y | \neq 0$ ，则 $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$ C、若 $x = 0$ 或 $y = 0$ ，则 $| x | + | y | \neq 0$ D、若 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ ，则 $| x | + | y | \neq 0$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， x)$ ，若 $| \vec{a} | = \sqrt{6}$ ，则x的值为（）

A、1 B、-3 C、±1 D、3

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4. 已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ γ ， α ⊥ β$ ，则 $γ$ ∥ $β$ B、若 $m$ ∥ $n$ ， $m \subset α ， n \subset β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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5. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} \leq 1$ ，则命题p的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $\sin x > 1$ B、 $\exists x \in R$ ， $\sin x > 1$ C、 $\exists x \in R$ ， $\sin x \geq 1$ D、 $\forall x \in R$ ， $\sin x \leq 1$

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6. 已知正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 若直线 $k x - y = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 有两个公共点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{4}{3})$ C、 $(0 ， \frac{4}{3})$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{4}{3} ， + \infty)$

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点P到 $A (0 ， 3)$ 的距离为 $d_{1}$ ，到准线的距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{6}$

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9. 如图是一个圆锥和圆柱的组合体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $16 π + \frac{8}{3} \sqrt{3} π$ B、 $10 \sqrt{3} π$ C、 $16 + \frac{8}{3} π$ D、 $16 + \frac{\sqrt{3}}{8} π$

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10. 若双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为2，则C的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = \frac{3}{2}$ ，则点C到平面 $C_{1} A B$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 刘徽的《九章算术注》记载“斜解立方，有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，再沿堑堵的一顶点与其相对的面对角线剖开成两块，大的叫阳马（底面为长方形，且有一侧棱与底面垂直的四棱锥），小的叫鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体），若三棱锥 $P - A B C$ 为鳖臑， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = 2$ ， $A C = 4$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（）

A、 $\frac{20}{3} \sqrt{5} π$ B、 $\frac{160}{3} \sqrt{5} π$ C、 $20 π$ D、 $24 π$

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二、填空题

13. 如图， $∠ B C A = 90 °$ ， $P C ⊥$ 平面ABC，则在 $△ A B C$ 和 $△ P A C$ 的边所在的直线中，与AP垂直的直线是．

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14. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x - y + 1 = 0$ ，则下列结论正确的是．
①直线l的倾斜角是 $\frac{π}{3}$ ；

②若直线 $m ： x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ ，则 $l ⊥ m$ ；

③点 $(\sqrt{3} ， 0)$ 到直线l的距离是4；

④过 $(\sqrt{3} ， 1)$ 与直线l平行的直线方程是 $\sqrt{3} x - y - 4 = 0$ ．

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15. 已知抛物线的方程是 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，则直线AB必过定点．

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16. 已知焦点在x轴上的椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直线l过 $F_{1}$ ，且和椭圆C交于A，B两点， $\vec{A F_{1}} = 3 \vec{F_{1} B}$ ， $3 | \vec{B F_{2}} | = 5 | \vec{A F_{2}} |$ ，则椭圆C的离心率为．

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三、解答题

17. 设命题p：实数x满足 $(x + \frac{a}{2}) (x - \frac{3 a}{2}) < 0 (a > 0)$ ，命题q：实数x满足 $x^{2} - 6 x + 8 \leq 0$ ．

(1)、若 $a = 2$ ， $p \land q$ 为真命题，求x的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 m = 0$ ，

(1)、若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)、若m的值为（1）中能取到的最大正整数，则得到的圆设为圆C，过点 $P (2 ， 2)$ 作圆C的切线，求切线方程．

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为棱 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A_{1} C_{1} M$ ；

(2)、连接 $A_{1} B$ ， $C_{1} B$ ，求直线 $D_{1} B$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，焦点为F，点 $M (1 ， t)$ 是抛物线上一点，满足 $| M F | = 2$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点 $D (2 ， 0)$ 作直线AB交C于A，B两点，若 $A D = 2 D B$ ，求弦AB的长度．

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21. 如图，在等腰梯形ABCD中， $A B / / C D$ ， $A B = 1$ ， $C D = 3$ ， $∠ A D C = 45 °$ ，AE为梯形ABCD的高，将 $△ A D E$ 沿AE折到 $△ P A E$ 的位置，使得 $P B = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $P E ⊥$ 平面ABCE；

(2)、求平面PBC与平面PAE所成二面角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $P (0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，对称中心为O，直线 $l ： y = k x + n$ 与椭圆C相交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，设A，B两点对应的相关点分别为 $M (\frac{x_{1}}{a} ， \frac{y_{1}}{b})$ ， $N (\frac{x_{2}}{a} ， \frac{y_{2}}{b})$ ，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 0$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、试判断 $△ A O B$ 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

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