山西省晋中市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 椭圆 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ 的焦距为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

查看试题解析
2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} < 0$

查看试题解析
3. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到准线的距离是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
4. “ $m n > 0$ ”是“方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 已知 $a$ ， $b$ 是两条不同直线， $α$ ， $β$ 是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面，则 $α$ 与 $β$ 平行 B、若 $a$ ， $b$ 平行于平面 $α$ ，则 $a$ 与 $b$ 平行 C、若 $a$ ， $b$ 不平行，则 $a$ 与 $b$ 不可能垂直于同一平面 D、若 $α$ ， $β$ 不平行，则在 $α$ 内不存在与 $β$ 平行的直线

查看试题解析
6. 命题“若实数 $x \neq y$ ，则 $\sin x \neq \sin y$ ”的逆否命题是（）

A、若实数 $x = y$ ，则 $\sin x = \sin y$ B、若 $\sin x = \sin y$ ，则实数 $x = y$ C、若 $\sin x \neq \sin y$ ，则实数 $x \neq y$ D、若实数 $x < y$ ，则 $\sin x < \sin y$

查看试题解析
7. 直线 $l_{1} ： (a + 1) x + a y + a = 0$ 与直线 $l_{2} ： (3 - a) x + (3 - 2 a) y + 9 = 0$ 平行，则 $a$ 为（）

A、1或-3 B、-3 C、2 D、1

查看试题解析
8. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $A B$ 的中点，异面直线 $B_{1} M$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

查看试题解析
9. 已知焦点为F的抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且 $P Q ⊥ l$ 垂足为Q，点 $G (2 ， 0)$ 则 $| P Q | + | P G |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
10. 已知线段AB两端点的坐标分别为 $A (- 2 ， 3)$ 和 $B (4 ， 2)$ ，若直线 $l ： x + m y + m - 1 = 0$ 与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{3}{4} ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， \frac{3}{4})$ C、 $[- 1 ， \frac{3}{4}]$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [\frac{3}{4} ， + \infty)$

查看试题解析
11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，直线 $l ： x + y + 1 = 0$ ，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当 $| P C | \cdot | A B |$ 最小时，直线AB的方程为（）

A、 $x + y = 0$ B、 $x - y = 0$ C、 $2 x - 2 y + 1 = 0$ D、 $2 x + 2 y + 1 = 0$

查看试题解析
12. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F$ 作渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 的垂线，垂足为 $A$ ，交另外一条渐近线于点 $B$ ，若 $| F B | = 3 | F A |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知点 $A (0 ， 0)$ 、 $B (2 ， 0)$ ，以线段 $A B$ 为直径的圆的标准方程是.

查看试题解析
14. 已知点 $P (1 ， 1)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为.

查看试题解析
15. 球 $O$ 的球面上有四点 $S$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，其中 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面， $Δ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为

查看试题解析
16. 过抛物线 $M$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作两条相互垂直的弦 $A B$ ， $C D$ ，分别交 $M$ 于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，则 $| A B | + | C D |$ 的最小值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A (3 ， - 2)$ 、 $B (5 ， 4)$ ，且边 $A C$ 的中点 $P$ 在 $y$ 轴上，边 $B C$ 的中点 $Q$ 在 $x$ 轴上，求：

(1)、顶点 $C$ 的坐标；

(2)、直线 $P Q$ 的一般方程.

查看试题解析
18. 已知 $m \in R$ ，命题 $p ： \forall x \in [0 ， 1]$ ，不等式 $m^{2} - 3 m \leq x^{2} - 2 x - 1$ 恒成立；命题 $q ： \exists x \in (- \infty ， 0]$ 使得 $m \leq 2^{x}$ 成立

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，求实数m的取值范围.

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，PA⊥平面ABCD，AB $//$ CD，AB⊥BC，AC与BD交于点O， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， $C D = 4 \sqrt{3}$ ， $P A = A B = 2 \sqrt{3}$ ，

(1)、求证：BD⊥平面PAC；

(2)、求直线PA与平面PBD所成角的大小.

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2，椭圆 $C$ 的上顶点为 $D$ ， $△ D F_{1} F_{2}$ 为正三角形，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $\frac{| A F_{1} |}{| B F_{1} |} = 2$ ，求直线 $A B$ 的一般方程.

查看试题解析
21. 已知矩形 $A B E F$ 所在平面与直角梯形 $A B C D$ 所在的平面垂直，交线为 $A B$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = A F = 1$ ，且 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ，点 $M$ 是棱 $C F$ 的中点.

(1)、求证： $D M / /$ 平面 $A B E F$ ；

(2)、求二面角 $A - D F - C$ 的余弦值.

查看试题解析
22. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $E$ 在第一象限，若 $| O E | = \frac{\sqrt{7}}{2}$ .

(1)、求点 $E$ 的坐标；

(2)、椭圆 $C$ 两个顶点分别为 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，过点 $M (0 ， - 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $P$ ，若直线 $A D$ 与直线 $M B$ 相交于点 $Q$ ，求证： $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 为定值.

查看试题解析