青海省西宁市普通高中五校2020-2021学年高二上学期文数期末联考试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一条光线沿直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 入射到 $x$ 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（）.

A、 $3 x + 4 y - 5 = 0$ B、 $3 x + 4 y + 5 = 0$ C、 $3 x - 4 y + 5 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 5 = 0$

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2. 下列四个命题中的真命题是（）

A、经过定点 $P_{0} （ x_{0} ， y_{0} ）$ 的直线都可以用方程 $y ﹣ y_{0} ＝ k （ x ﹣ x_{0} ）$ 表示 B、经过任意两个不同点 $P_{1} （ x_{1} ， y_{1} ）、 P_{2} （ x_{2} ， y_{2} ）$ 的直线都可以用方程 $（ y ﹣ y_{1} ）（ x_{2} ﹣ x_{1} ） = （ x ﹣ x_{1} ）（ y_{2} ﹣ y_{1} ）$ 表示 C、不经过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 表示 D、经过定点 $A (0 ， b)$ 的直线都可以用方程 $y ＝ k x + b$ 表示

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3. 直线 $x + y - 2 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，则弦长 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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4. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点，点M在E上， $M F_{1}$ 与x轴垂直， $∠ M F_{2} F_{1} = 30 °$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 若直线 $2 a x - b y + 2 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 经过圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的圆心，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是（）.

A、16 B、12 C、9 D、8

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6. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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7. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R$ ， $a x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 3 \leq 0$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）.

A、 $(\frac{3}{4} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{4})$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(\frac{3}{4} ， 1)$

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8. $a = - 3$ 是直线 $l_{1} ： a x + (1 - a) y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} ： (a - 1) x + (2 a + 3) y - 2 = 0$ 互相垂直的（）.

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $B C_{1}$ 与 $A_{1} E$ 所成角的余弦值为（）.

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{30}}{30}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$

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10. 已知F为抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点， $A ， B$ 是该抛物线上的两点， $| A F | + | B F | = 3$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的右焦点 $F (c ， 0)$ 到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，则其离心率的值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知△ABC是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 已知圆锥的侧面积（单位： ${cm}^{2}$ ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是．

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14. 抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的一条弦被 $A (4 ， 2)$ 平分，那么这条弦所在的直线方程是.

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15. 过点 $A (4 ， - 3)$ 作圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的切线，则此切线的方程为.

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16. 设有下列四个命题：
p₁：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p₂：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p₃：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p₄：若直线l $\subset$ 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是.

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor \neg p_{4}$

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三、解答题

17.

(1)、求经过直线 $l_{1} ： x + y - 2 = 0$ 和 $l_{2} ： 2 x - y - 1 = 0$ 的交点且垂直于直线 $l_{3} ： 2 x + y - 3 = 0$ 的直线方程；

(2)、求过点 $P (- 1 ， 3)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

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18. 已知坐标平面上点 $M (x ， y)$ 与两个定点 $M_{1} (0 ， 0)$ ， $M_{2} (3 ， 0)$ 的距离之比等于 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)、记（1）中的轨迹为 $C$ ，过坐标原点的直线 $l$ 被 $C$ 所截得的线段的长为 $\sqrt{13}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ .
（Ⅰ）求 $p$ 的值；

（Ⅱ）直线 $l ： y = x - 1$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，求弦长 $| A B |$ .

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $E$ ， $P$ ， $Q$ 分别是棱 $A D$ ， $S C$ ， $A B$ 的中点，且 $S E ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $P Q //$ 平面 $S A D$ ；

(2)、求证：平面 $S A C ⊥$ 平面 $S E Q$ .

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ ，经过点 $F_{1}$ 的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A ， B两点， $△ A B F_{2}$ 的周长为8.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、经过椭圆C上的一点Q作斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ （ $k_{1} \neq 0$ ， $k_{2} \neq 0$ ）的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q点的M ， N两点。若M ， N关于坐标原点对称，求 $k_{1} k_{2}$ 的值.

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 底面是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P D C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $E A C$ 的距离．

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