青海省海东市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $\ln (x^{2} + 2) > 2$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0$ ， $\ln (x^{2} + 2) \leq 2$ B、 $\forall x > 0$ ， $\ln (x^{2} + 2) \leq 2$ C、 $\exists x > 0$ ， $\ln (x^{2} + 2) \leq 2$ D、 $\exists x > 0$ ， $\ln (x^{2} + 2) \leq 2$

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2. 双曲线 $m x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 圆心为 $(2 ， - 5)$ ，半径为 $4$ 的圆的标准方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 4$

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4. 棱长为2的正四面体的表面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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5. 已知 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $α // β$ ，则 $m // β$ B、若 $m // n$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m // β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m // β$ D、若 $m // n$ ， $n ⊥ α$ ， $α // β$ ，则 $m ⊥ β$

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6. 已知直线 $l$ 与椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (2 ， 1)$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的斜率是（）

A、 $- \frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{9}{8}$

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7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形，且 $A B = B C$ ，E在棱 $A A_{1}$ 上，且 $A E = 3 A_{1} E$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 已知直线 $l$ 过点 $P (1 ， 4)$ ，当直线 $l$ 与 $x$ ， $y$ 轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x + 4 y - 17 = 0$ B、 $x + y - 5 = 0$ C、 $4 x + y - 8 = 0$ D、 $2 x + y - 6 = 0$

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9. 已知 $a ， b$ 都是正实数，则“ $l o g_{3} \frac{1}{a} < - l o g_{3} b$ ”是“ ${(\frac{1}{3})}^{b} > 3^{- a}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 都是正方形， $G$ 为 $C D$ 的中点， $∠ D A F = 60^{\circ}$ ，则直线 $B G$ 与平面 $A G E$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， P A = A C = 4 ， A B = B C = 2 \sqrt{5}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{41 π}{4}$ B、 $\frac{41 π}{3}$ C、41π D、 $\frac{41 \sqrt{41} π}{6}$

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12. 设 $F_{2}$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，直线l： $x - 2 y + c = 0$ （其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M ， N两点，若 $\vec{M N} \cdot (\vec{F_{2} M} + \vec{F_{2} N}) = 0$ ，则双曲线C的离心率是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{m} = (1 ， - 1 ， \sqrt{2})$ ， $\vec{n} = (1 ， 0 ， \sqrt{2})$ ，则 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角是．

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14. 轴截面是边长为4的正方形的圆柱的体积是．

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15. 给出下列命题：
①函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 2}$ 的最小值是0；

②“若 $x^{2} = 4$ ，则 $x = 2$ ”的否命题；

③若 $b^{2} = a c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列；

④在 $△ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $B C > A C$ .

其中所有真命题的序号是.

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16. 若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = 2 + \sqrt{4 - {(x - 4)}^{2}}$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知直线 $l ： a x + 2 y - 7 = 0$ 与圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x - y + 2 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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18. 已知 $p$ ： $- 2 < x + 1 < 5$ ． $q$ ： $x^{2} + 4 x - 5 > 0$ .

(1)、若 $\neg q$ 是真命题，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 是真命题， $p \land q$ 是假命题，求 $x$ 的取值范围.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ .

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ .

(2)、求点 $C$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点.

(1)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求弦长 $| A B |$ ；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为2， $O$ 为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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21. 如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 B C = 2 A B = 6$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ C D$ .

(2)、若 $P C = A D$ ，点E在线段 $C D$ 上，且 $C E = 2 E D$ ，求二面角 $A - P E - C$ 的余弦值.

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22. 已知O为坐标原点，点M在圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 上运动．

(1)、求线段OM中点N的轨迹 $Ω$ 的方程；

(2)、过点 $T (0 ， - 2)$ 的直线l与轨迹 $Ω$ 交于A ， B两点， $k_{O A} k_{O B} = - \frac{1}{7}$ ，求 $| A B |$ 的值.

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