湖南省长沙市长沙县2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | x < - 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. “ $α = \frac{π}{3}$ ”是“ $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知平面 $α$ 的法向量是 $(2 ， 3 ， - 1)$ ，平面 $β$ 的法向量是 $(4 ， λ ， - 2)$ ，若 $α // β$ ，则 $λ$ 的值是（）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、-6 C、6 D、 $\frac{10}{3}$

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4. 已知 $\frac{\bar{z}}{1 + i} = 2 + i$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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5. 若 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - a > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a \geq 0$ D、 $a \leq 0$

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6. 函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的极大值为（）

A、 $- e$ B、 $\frac{1}{e}$ C、1 D、0

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7. 在[-2，2]上随机取一个数k，则事件“直线 $y = k x$ 与圆 ${(x - 2 \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 4$ 有公共点”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 设 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x) > 0$ 且， $f (3) = 0$ ，则不等式 $f (x) g (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 3 ， 0) \cup (3 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， 0) \cup (0 ， 3)$ C、 $(- \infty ， - 3) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (0 ， 3)$

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二、多选题

9. “双11”购物节期间，某产品的在当天开启时间与成交量统计后有如下数据和散点图：

时间 $x$ （小时）

2

3

5

6

成交量 $y$ （百件）

7

8

9

12

下列说法正确的有（）

附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率的最小二乘法公式 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$

A、开启时间与成交量具有正相关性 B、 $\bar{x} = 4$ ， $\bar{y} = 9.5$ C、线性回归方程为 $\hat{y} = 1.1 x + 4.2$ D、预测14小时内的成交量为2000件

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10. 下列有关命题的说法正确的是（）

A、命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等” B、“若实数x，y满足 $x^{2} + y^{2} = 0$ ，则x，y全为0”的否命题为真命题 C、命题“ $\exists x \in R$ ， $\tan x = 2$ ”为假命题 D、对于命题P： $\exists x_{0} \in R$ ， $\Rightarrow {\begin{cases} a^{2} = 2 \\ b = 1 \end{cases}$ ，则 $\neg P$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$

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11. 给出下列四个命题：① $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 是增函数，无极值；② $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 在（ $- \infty$ ，2）上有最大值；③ ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ ；④函数 $f (x) = \ln x + a x$ 存在与直线 $2 x - y = 0$ 平行的切线，则实数a的取值范围是（ $- \infty$ ，2）．其中正确命题的序号为（）

A、① B、② C、③ D、④

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12. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，直线 $y = x - \sqrt{3}$ 过F₂交C于A，B两点，若△AF₁B的周长为8，则（）

A、椭圆焦距为 $\sqrt{3}$ B、椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、弦长 $| A B | = \frac{8}{5}$ D、 $S_{△ O A B} = \frac{4 \sqrt{6}}{5}$

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三、填空题

13. 三一重工生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次是 $1 ： 2 ： 4$ ，现用分层样方法抽取一个容量为 $n$ 的样本，样本中B种型号产品有16件，那么样本容量 $n =$ ．

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14. 某班全体学生参加数学测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则估计该班数学测试的平均成绩是．

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l于A，若直线AF的倾斜角为120°，那么 $| P A | =$ ．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的两个端点分别为 $B_{1} ， B_{2}$ ，若 $F ， A ， B_{1} ， B_{2}$ 在同一个圆上，则双曲线的离心率等于．

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四、解答题

17. 从长沙高铁南站到黄花机场共有两条路径L₁和L₂ ，现随机抽取100位从高铁站到机场的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
选择L₁的人数	2	6	16	10	6
选择L₂的人数	6	12	27	12	3

(1)、试估计30分钟内能从高铁站赶到机场的概率；

(2)、某医疗团队急需从高铁站去机场支援某地疫情防控，需在40分钟内到达机场，为了尽最大可能在允许时间内赶到机场．请你从用时的角度，通过计算说明他们该如何选择路径．

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18. 已知命题 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，命题 $q$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 m x + 2 m + 3 = 0$ 无实根，若“ $p \land q$ ”为假命题，“ $p \lor q$ ”为真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=PA=1，F是线段BC的中点．

(1)、求三棱锥A-PFD的体积；

(2)、求证：DF⊥平面PAF；

(3)、求二面角B-PF-D的余弦值．

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20. 设 $f_{n} (x) = x + x^{2} + x^{3} + \cdot \cdot \cdot + x^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）

(1)、求 $f_{n} (2)$ 的值；

(2)、当 $n = 2$ 时，求函数 $f_{2} (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程；

(3)、求 $f_{n}^{'} (2)$ ．

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21. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2，过右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，点M（2，0），设直线MA与直线MB的斜率分别为k₁ ， k₂ ．

(1)、求椭圆方程；

(2)、当直线l垂直x轴时，k₁与k₂有何关系？

(3)、随着直线l的变化，k₁+k₂是否为定值？请说明理由．

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22. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + \frac{1}{4}$ （ $a > 0$ ）．

(1)、当 $a = \frac{1}{4}$ 时，试求下列问题：
①函数 $f (x)$ 的单调区间；

②函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 的零点的个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内有两个零点，求出 $a$ 的取值范围．

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时间 $x$ （小时）	2	3	5	6
成交量 $y$ （百件）	7	8	9	12