湖南省邵阳市新邵县2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $a ， b \in R$ ，则 “ $(a - b) a^{2} < 0$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 设命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} > x_{0}^{2}$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $e^{x} - x \leq x_{}^{2}$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} < x_{0}^{2}$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} \leq x_{0}^{2}$ D、 $\forall x \in R$ ， $e^{x} - x > x^{2}$

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3. 已知各项为正数的等比数列{a_n}中，a₂＝1，a₃a₇＝64，则公比q＝（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + x + 1$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 的切线过点 $(2 ， 7)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 2} (x > 2)$ 在 $x = a$ 处取最小值，则 $a$ 等于（）

A、3 B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、4

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{11} + 7 = 2 a_{12}$ ，则 $S_{25} =$ （）

A、 $\frac{145}{2}$ B、145 C、 $\frac{175}{2}$ D、175

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7. 如图，要测量电视塔 $A B$ 的高度，在 $C$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角是 $\frac{π}{4}$ ，在 $D$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角是 $\frac{π}{6}$ ，水平面上的 $∠ B C D = \frac{π}{3} ， C D = 40 m$ ，则电视塔 $A B$ 的高度为（） $m$

A、20 B、30 C、40 D、50

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8. 函数 $f (x)$ 在定义域R内可导，若 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in (- \infty ， 1)$ 时， $(x - 1) f^{'} (x) < 0$ ，设 $a = f (0)$ ， $b = f (\frac{1}{2})$ ， $c = f (3)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 如果函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

⑴函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3 ， - \frac{1}{2})$ 内单调递增；（2）当 $x = - 2$ 时，函数 $y = f (x)$ 有极小值；（3）函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 内单调递增；（4）当 $x = 3$ 时，函数 $y = f (x)$ 有极小值．则上述判断中错误的是（）

A、（1） B、（2） C、（3） D、（4）

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $\lg a + \lg b \geq 2 \sqrt{\lg a \lg b}$ B、若 $a + b = 2$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、若 $a > b > k > 1$ ，则 $a^{b} > k^{b}$ D、若 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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11. 已知 $P$ 是左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的动点， $M (0 ， 2)$ ，下列说法正确的有（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ B、 $| P F_{1} | - | P F_{2} |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、存在点 $P$ ，使 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{°}$ D、 $| M P |$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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12. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A、直线 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ B、平面 $D_{1} A_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} A P$ C、三棱锥 $D_{1} - C D P$ 的体积为定值 D、平面 $A P D_{1}$ 截正方体所得的截面可能是等腰梯形

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三、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{4} y$ 的准线方程是．

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14. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为2， $M$ 为 $A B$ 的中点，则异面直线 $B_{1} M$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值是

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15. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线与方程为 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 的圆相切，则此双曲线的离心率为．

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16. 把数列 ${2 n + 1}$ 中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为.

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 < 0}, B = {x | x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} = 0}$

(1)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使 $A \cap B \neq φ$ 成立？若存在，求出实数 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(a + 2 b) \cos C + c \cos A = 0$ .

(1)、求C；

(2)、若 $a = 4$ ， $c = 2 \sqrt{19}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ S A B$ 是等边三角形，已知 $A C = 2 A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求证：平面 $S A B ⊥$ 平面 $S A C$ ；

(2)、求直线 $S A$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} > 0$ ， $S_{3} = 15$ ，公差 $d > 1$ ，且___________.从① $a_{2} - 1$ 为 $a_{1} - 1$ 与 $a_{3} + 1$ 等比中项，②等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q = \frac{1}{2}$ ， $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{3}$ 这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列 ${a_{n}}$ 存在并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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21. 已知 $f (x) = x \ln x, g (x) = x^{3} + a x^{2} - x + 2$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对任意 $x \in (0, + \infty), 2 f (x) \leq g' (x) + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $B_{1}$ 为椭圆上顶点， $△ B_{1} F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + m (k \neq 0 ， m \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $M$ ， $N$ ，已知 $P (0 ， \frac{1}{2})$ ， $| M P | = | N P |$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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