陕西省西安市长安区一高2021-2022学年高二上学期理数第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-10-28 类型：月考试卷

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一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．)

1. 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）

A、 $\emptyset$ B、S C、T D、Z

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2. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = | \sin x | + \frac{4}{| \sin x |}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

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3. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， \sin x < 1$ ﹔命题 $q ： \forall x \in R$ ﹐ $e^{| x |} \geq 1$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land q$ C、 $p \land \neg q$ D、 $\neg (p \lor q)$

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4. 设 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，且 $f (1 + x) = f (- x)$ .若 $f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $f (\frac{5}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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5. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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6. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A、6+4 $\sqrt{2}$ B、4+4 $\sqrt{2}$ C、6+2 $\sqrt{3}$ D、4+2 $\sqrt{3}$

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7. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 若 $\tan θ = - 2$ ，则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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9. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = 2^{15} - 2^{5}$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 $| O P | = 2$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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11. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）

A、 $\frac{500 π}{3}$ cm³ B、 $\frac{866 π}{3}$ cm³ C、 $\frac{1372 π}{3}$ cm³ D、 $\frac{1000 π}{3}$ cm³

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12. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ，过F₂的直线与C交于A ， B两点.若 $| A F_{2} | = 2 | F_{2} B |$ ， $| A B | = | B F_{1} |$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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13. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|= $4 \sqrt{2}$ ，|DE|= $2 \sqrt{5}$ ，则C的焦点到准线的距离为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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14. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (- x) = 2 - f (x)$ ，若函数 $y = \frac{x + 1}{x}$ 与 $y = f (x)$ 图像的交点为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \cdot \cdot \cdot ， (x_{m} ， y_{m}) ，$ 则 $(x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + \dots + (x_{m} + y_{m})$ 的值为( ）

A、0 B、 $m$ C、 $2 m$ D、 $4 m$

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二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)

15. $\cos^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{5 π}{12} =$ ．

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16. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点到直线 $x + 2 y - 8 = 0$ 的距离为．

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17. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $| M F_{1} | \cdot | M F_{2} |$ 的最大值为．

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18. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P ， Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| P Q | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为．

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19. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 ， \\ 2^{x} ， x > 0 ， \end{array}$ 则满足 $f (x) + f (x - \frac{1}{2}) > 1$ 的x的取值范围.

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20. 已知点 $P$ 在圆 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ 上，点 $A (4 ， 0)$ 、 $B (0 ， 2)$ ，则下列说法正确的是．
①点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离小于10②点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离大于2③当 $∠ P B A$ 最小时， $| P B | = 3 \sqrt{2}$ ④当 $∠ P B A$ 最大时， $| P B | = 3 \sqrt{2}$

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三、解答题(本大题共4小题，共50分)

21. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $\sqrt{2} a + b = 2 c$ ，求sinC．

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22. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ．已知 $a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $9 a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前n项和．求 $T_{n}$ .

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23. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

(1)、证明：MN∥平面PAB；

(2)、求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

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24. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0），四点P₁（1，1），P₂（0，1），P₃（–1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），P₄（1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）中恰有三点在椭圆C上.

(1)、求C的方程；

(2)、设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为–1，证明：直线l过定点.

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