山东省烟台市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} 2 n$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} 2 n$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} 2^{n}$ D、 $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} 2^{n}$

查看试题解析
2. 若抛物线 $x^{2} = m y$ 过点 $(1 ， - 4)$ ，则该抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， - \frac{1}{16})$ B、 $(- \frac{1}{16} ， 0)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， - 1)$

查看试题解析
3. 与双曲线 $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ 有公共焦点且离心率为 $\frac{4}{5}$ 的椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{80} + \frac{x^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{80} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{100} + \frac{x^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

查看试题解析
4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数．他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，…；等等．如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为（）

A、35 B、51 C、70 D、92

查看试题解析
5. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9 + m} + \frac{y^{2}}{3 + m} = 1$ 的焦点，若椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- 3 ， 3]$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $[- 3 ， 3]$

查看试题解析
6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \sqrt{2}$ ， $a_{n + 1} = {\begin{cases} a_{n} - 1 ， a_{n} > 1 \\ \frac{1}{a_{n}} ， 0 < a_{n} < 1 \end{cases} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2021} =$ （）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、2

查看试题解析
7. 如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为 $12 cm$ ，瓶口直径为 $20cm$ ，瓶高为 $30 cm$ ，则该双曲线的虚轴长为（）

A、 $\frac{45}{8}$ B、 $\frac{45}{4}$ C、 $\frac{45}{2}$ D、45

查看试题解析
8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \sqrt{4 n + 1} (n \in N^{*})$ ，将数列 ${a_{n}}$ 中的整数从小到大排列得到新数列 ${b_{n}}$ ，则 ${b_{n}}$ 的前100项和为（）

A、9900 B、10200 C、10000 D、11000

查看试题解析

二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 与直线 $x + y - 2 = 0$ 有且只有一个公共点 B、平面内满足 $| | P A | - | P B | | = 2 a (a > 0)$ 的动点 $P$ 的轨迹为双曲线 C、若方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $t > 4$ D、过给定圆上一定点 $A$ 作圆的动弦 $A B$ ，则弦 $A B$ 的中点 $P$ 的轨迹为椭圆

查看试题解析
10. 若数列 ${F_{n}}$ 满足 $F_{1} = 1$ ， $F_{2} = 1$ ， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ ，则称 ${F_{n}}$ 为斐波那契数列．记数列 ${F_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $F_{6}^{2} = F_{5} F_{7} + 1$ B、 $S_{6} = F_{8} - 1$ C、 $F_{1} + F_{3} + F_{5} + \cdot \cdot \cdot + F_{9} = F_{10}$ D、 $F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + F_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + F_{6}^{2} = F_{7} F_{8}$

查看试题解析
11. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上， $A$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 为椭圆的顶点， $F$ 为右焦点，延长 $B_{2} F$ 与 $A B_{1}$ 交于点 $P$ ，若 $∠ B_{1} P B_{2}$ 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
12. 已知数列1， $\frac{1}{2}$ ，1， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ，1， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{2}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ ，1，…，则（）

A、数列的第 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 项均为1 B、 $\frac{12}{13}$ 是数列的第90项 C、数列前50项和为28 D、数列前50项和为 $\frac{57}{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{4} = 4$ ， $a_{7} = - 2$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为．

查看试题解析
14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合，过点 $M (- 1 ， 1)$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，则椭圆 $C$ 的方程为．

查看试题解析
15. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 5$ ， $S_{10} = 15$ ，则 $a_{16} + a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20}$ 的值为．

查看试题解析
16. 汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 $F P$ 经抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 反射后，沿 $P N$ 平行射出， $∠ F P N$ 的角平分线 $P M$ 所在的直线方程为 $2 x + y - 12 = 0$ ，则抛物线方程为．

查看试题解析

四、解答题

17. 从条件① $b_{2} = a_{2} - 1$ ，② $b_{4} = a_{1} - 2$ ，③ $b_{2} = a_{2}$ 任选一个补充在下面问题中，并解答．
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， ▲ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析
18. 动点 $M (x ， y)$ 与定点 $F_{1} (5 ， 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l ： x = \frac{9}{5}$ 的距离的比是常数 $\frac{5}{3}$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设 $F_{2} (- 5 ， 0)$ ，点 $P$ 为 $M$ 轨迹上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积．

查看试题解析
19. 在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月．该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息．）

(1)、分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据： ${1.004}^{18} \approx 1.0745$ ， ${1.012}^{6} \approx 1.0742$ ．）

(2)、从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由．

查看试题解析
20. 已知抛物线 $C$ 的方程为 $x^{2} = 8 y$ ，点 $M (0 ， 4)$ ，过点 $M$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、 $\frac{1}{{| A M |}^{2}} + \frac{1}{{| B M |}^{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；

(2)、若点 $Q$ 是直线 $l ： y = - 4$ 上的动点，且 $O Q ⊥ A B$ ，求 $△ A B Q$ 面积的最小值．

查看试题解析
21. 已知 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，点 $M$ 在椭圆上， $M F ⊥ x$ 轴， $| M F | = \sqrt{2}$ ，椭圆的短轴长等于4．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设 $P$ 为直线 $l ： x = 3 \sqrt{2}$ 上一点， $Q$ 为椭圆 $C$ 上一点，且以 $P Q$ 为直径的圆过坐标原点 $O$ ，求 ${| O P |}^{2} - 16 {| O Q |}^{2}$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ， $S_{5} + 2 S_{3} = 3 S_{4}$ ．数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{1} = 2$ ， $n T_{n + 1} = (n + 1) T_{n} + n (n + 1)$ ．

(1)、分别求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{(S_{n} + 1) b_{n}}{(n + 1) (n + 2)}$ ， $M_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，是否存在不同的正整数 $p$ ， $q$ ， $r$ （其中 $p$ ， $q$ ， $r$ 成等差数列），使得 $M_{p} + 2$ ， $M_{q} + 2$ ， $M_{r} + 2$ 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的 $p$ ， $q$ ， $r$ 的值；若不存在，说明理由．

查看试题解析