山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线 $l : 2 x + a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - 2 y + 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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2. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， 1)$ ，且 $P (2 ⩽ X ⩽ 4) = 0.6826$ ，则 $P (X > 4) =$ （）

A、0.0799 B、0.1587 C、0.3174 D、0.3413

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3. 已知直线 $l$ 的一方向向量为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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4. 已知点 $G$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 所在平面外一点，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} =$ （）

A、 $\vec{P G}$ B、 $2 \vec{P G}$ C、 $3 \vec{P G}$ D、 $4 \vec{P G}$

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5. “养国子以道，乃教之六艺"出自《周礼·保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需掌握的六种基本才能.某班甲、乙两名同学分别选取其中的四艺进行学习，若“礼”“数”必选，其余两艺随机选择，那么这两名同学都未选到“御”的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 设随机变量 $X ， Y$ 满足 $Y = 4 X + 1 ， X ~ B (2 ， p)$ ，若 $P (X ⩾ 1) = \frac{7}{16}$ ，则 $D (Y) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、6 D、8

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面，且 $A B = \sqrt{3} ， B C = 2 ， {\overset{⌢}{D D}}_{1} = \frac{π}{3} ， {\overset{⌢}{C C}}_{1} = \frac{2}{3} π$ ，其中 $C_{1} ， D_{1}$ 在平面 $A B C D$ 同侧，则异面直线 $C D$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 是椭圆上任意一点，过 $F_{1}$ 引 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $Q$ 与短轴端点的最近距离为（）

A、1 B、2 C、4 D、5

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二、多选题

9. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作一条直线 $l$ 与抛物线相交于不同 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则下列说法中正确的是（）

A、 $| A B | = x_{1} + x_{2} + 2 p$ B、 $| A B |$ 的最小值为 $2 p$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ D、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

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10. 如图，在下列四个正方体中， $A ， B$ 为正方体的两个顶点， $D ， E ， F$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $A B$ 与平面 $D E F$ 平行的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{k - 2} + \frac{y^{2}}{6 - k} = 1 (k \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < k < 6$ ，曲线 $C$ 为椭圆 B、当 $k = 0$ 时，曲线 $C$ 为双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、“ $k > 6$ 或 $k < 2$ ”是“曲线 $C$ 为双曲线”的充要条件 D、不存在实数 $k$ 使得曲线 $C$ 为离心率为 $\sqrt{2}$ 的双曲线

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12. 据《人民日报》报道，2020年10月份山东某城市在5天内完成了全城1000多万个检测，创造了世界记录，也震惊了外媒.“中国速度”怎么做到的？其实真正的秘密在于“混采检测”.某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知10只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下面是两种化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止.

方案乙：先取5只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这5只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的5只动物再逐个化验，直到查出患病动物（）

A、若利用方案甲，平均化验次数为5.4 B、若利用方案乙，化验次数为3次的概率为0.2 C、若利用方案甲，化验次数为9次的概率为0.1 D、方案乙比方案甲更好

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三、填空题

13. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 相交，则它们交点所在的直线方程为.

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14. 中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等.学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有种(用数字作答).

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15. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点.则点 $E$ 到体对角线 $B D_{1}$ 的距离为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点 $P$ 坐标为 $(\sqrt{5} ， m) (m > 0) ， F$ 为双曲线 $C$ 的右焦点，且 $P F$ 垂直于 $x$ 轴.过点 $P$ 分别作双曲线 $C$ 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是.

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四、解答题

17. 在 ${(x + \frac{3}{x})}^{7}$ 的展开式中

(1)、求含 $x^{5}$ 的项；

(2)、求各项系数和与各项二项式系数和的比.

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18. 有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球.

(1)、随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；

(2)、从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.

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19. 在① $C$ 上的点 $A$ 到 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 的距离比它到直线 $x = - \frac{3}{2}$ 的距离少 $1$ ，
② $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{\frac{3}{4} p} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{2} p} = 1$ 的一个焦点，

③ $B (0 ， 1)$ ，对于 $C$ 上的点 $A ， | A B | + | A F |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，

这三个条件任选一个，补充在下面问题中并完成解答.

已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，满足 .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、 $D (2 ， y)$ 是抛物线 $C$ 上在第一象限内的一点，直线 $l ： y = x + m$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，若 $△ D M N$ 的面积为 $m^{2}$ ，求 $m$ 的值.

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20. 在图 $1$ 中， $Δ A B C$ 和 $Δ A C D$ 都是直角三角形， $A B = B C = \sqrt{6}$ ， $∠ C A D = 30 ° ， ∠ A C D = 90 °$ .将 $Δ A B C$ 沿 $A C$ 折起，使得 $A B ⊥ B D$ ，如图 $2$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $E ， F$ 分别为 $A D ， C D$ 的中点，求二面角 $B - E F - A$ 的大小.

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21. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示

(1)、根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；

(2)、现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这 $10$ 件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列；

(3)、已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8：2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ 且不与坐标轴垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，且椭圆 $C$ 截直线 $x = c$ 所得弦长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、线段 $M N$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $P$ ，求点 $P$ 横坐标的取值范围；

(3)、试问在 $x$ 轴上是否存在一点 $Q$ ，使得 $\vec{Q M} \cdot \vec{Q N}$ 为定值？若存在，求出点 $Q$ 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.

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