山东省威海市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 抛物线 $x = 2 y^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{8}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = - \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 已知复数z =(a+i)i在复平面内对应的点在直线y=2x+1上，则实数a的值为（）

A、3 B、0 C、-1 D、-3

查看试题解析
3. 已知直线ax+2y-3=0 与直线2x-3y+1=0 垂直，则实数a的值为（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

查看试题解析
4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3 ， - 2) ， \vec{b} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{c} = (4 ， 5 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数m的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、12 D、1

查看试题解析
5. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₁> 0，S₃ =S₁₀ ，则S_n取最大值时n的值为（）

A、6 B、7 C、6 或7 D、7 或8

查看试题解析
6. 若 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 是从点 $P$ 发出的三条射线，每两条射线的夹角均为 $60^{\circ}$ ，则直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

查看试题解析
7. 数列{F_n}：F₁=F₂ =1， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} (n > 2)$ ，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{F_n}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{a_n}，则数列{a_n}的前2021项和为（）

A、1345 B、1346 C、1347 D、1348

查看试题解析
8. 已知 F₁ ， F₂分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点，设以F₁F₂为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若直线PF₁与圆x²+ y²=a²相切，则C 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

查看试题解析

二、多选题

9. 若复数 $z_{0} = \frac{2}{1 - i}$ ，则（）

A、 $\bar{z_{0}}$ 的虚部为 -1 B、 $| z_{0} | = 2$ C、 $z_{0}^{2}$ 为纯虚数 D、若 $| z - z_{0} | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

查看试题解析
10. 已知曲线 $C ： x^{2} + m y^{2} = n$ ，则（）

A、若 m =1，n > 0，则C 是以 n 为半径的圆 B、若 m >1，n > 0，则C 是焦点在 x 轴上的椭圆 C、若C 是双曲线，则 m < 0 D、若C 是两条直线，则 n=0

查看试题解析
11. 在棱长为1的正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，则（）

A、AC₁⊥B₁C B、直线CD₁与BD 所成的角为60° C、三棱锥O-B₁CD₁的体积为 $\frac{1}{3}$ D、直线AC₁与平面AA₁D₁D所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

查看试题解析
12. 设直线 $l_{n} ： y = x - \sqrt{2 n}$ 与圆 $C_{n} ： x^{2} + y^{2} = 2 a_{n} + n + 1$ 交于不同的两点A_n ， B_n (n∈ N*)．已知a₁=1， $4 a_{n + 1} = {| A_{n} B_{n} |}^{2}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，则（）

A、 $a_{n} = \frac{n + 1}{2}$ B、a_n=2ⁿ -1 C、S_n=2ⁿ⁺^1-n-2 D、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2^{i}}{a_{i} a_{i + 1}} = \frac{2^{n + 1} - 2}{2^{n + 1} - 1}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知直线l过点(1，0)，且与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y = 1$ 相切，则直线l的方程为．

查看试题解析
14. 已知四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，则 $\vec{B C} \cdot \vec{A G} =$ .

查看试题解析
15. 已知A，B是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，P为C上一点，设直线PA，PB 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{9}$ ，则椭圆的离心率为.

查看试题解析
16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁ =1， $a_{n} (S_{n} - 1) = S_{n}^{2} (n ⩾ 2)$ ，则a_n=

查看试题解析

四、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₂=3，S₇=35.
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=2ⁿ ×a_n ，求数列{b_n}的前n项和T_n

查看试题解析
18. 已知正四棱柱 ABCD- A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为B₁C₁ ， AD的中点.

（Ⅰ）求证：BEP平面C₁FD₁；

（Ⅱ）求直线BE到平面C₁FD₁的距离.

查看试题解析
19. 已知动圆与直线 $x = - 1$ 相切，且过点 $F (1 ， 0)$ ，设动圆圆心P的轨迹为C .
(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)若直线l与曲线C 相交于A，B 两点，且O为坐标原点，OA⊥OB，求证：直线l恒过定点.

查看试题解析
20. 如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB为等边三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，平面 SAB ^ 平面ABC，D为AC的中点.

（Ⅰ）求证：AB^SD；

（Ⅱ）在侧棱SC上是否存在一点P，使二面角S-AB-P的大小为30°，若存在，求 $\frac{S P}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. “绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.
（Ⅰ）设第n年的投入为a_n万元，旅游业收入为b_n万元，写出a_n ， b_n的表达式；

（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

（参考数据：lg2 »0.301，lg3» 0.477）

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，F₁ ， F₂为的左、右焦点，B₁ ， B₂为其短轴的两个端点， $| B_{1} B_{2} |$ 是 $| P F_{1} |$ 与 $| P F_{2} |$ 的等差中项.
（Ⅰ）求C的标准方程；

（Ⅱ）过F₂作一条不垂直于x轴的直线l，交C 于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于M点，求 $| M A |$ 的取值范围.

查看试题解析