山东省泰安市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{4} y$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - \frac{1}{16}$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - \frac{1}{16}$

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2. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，则能使 $l // α$ 的是（）

A、 $\vec{m} = (1 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{n} = (1 ， 0 ， 1)$ B、 $\vec{m} = (0 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{n} = (0 ， 3 ， 0)$ C、 $\vec{m} = (1 ， - 2 ， 3)$ ， $\vec{n} = (- 2 ， 2 ， 2)$ D、 $\vec{m} = (0 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{n} = (- 1 ， 0 ， - 1)$

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3. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，则（）

A、双曲线C的焦距为 $\sqrt{7}$ B、双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍 C、双曲线 $\frac{y^{2}}{6} - x^{2} = 1$ 与双曲线C的渐近线相同 D、直线 $y = 3 x$ 与双曲线C有公共点

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4. 以点 $(3 ， - 1)$ 为圆心，且与直线 $x - 3 y + 4 = 0$ 相切的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 20$

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5. 如图所示，在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} ＝ \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (4, - 2, 3)$ ， $\vec{A D} = (- 4, 1, 0)$ ， $\vec{A P} = (- 6, 2, - 8)$ ，则点 $P$ 到底面 $A B C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、1 D、2

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 $a_{2021}$ 等于（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ， $P, Q$ 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且 $∠ Q F_{2} P = 60 °$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{3}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 等于（）

A、4 B、2 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、多选题

9. 点 $P$ 在圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为0 B、 $| P Q |$ 的最大值为7 C、两个圆心所在的直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ D、两个圆相交弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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10. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，截面 $B D E$ 与直线 $P C$ 平行，与 $P A$ 交于点 $E$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $E$ 为 $P A$ 的中点 B、 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ D、三棱锥 $C - B D E$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比等于 $1 ： 4$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{1} + 4 a_{3} = S_{7}$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $a_{14} = 0$ B、 $S_{14}$ 最小 C、 $S_{11} = S_{16}$ D、 $S_{27} = 0$

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12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{5} x$ 的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的渐近线方程为y=±2x B、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $k_{1}$ $k_{2}$ 为定值 $\frac{1}{4}$ D、存在点P，使得 $k_{1}$ + $k_{2}$ =2

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三、填空题

13. 设直线 $l_{1} ： a x + 3 y + 12 = 0$ ，直线 $l_{2} ： x + (a - 2) y + 4 = 0$ .当 $a =$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．

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14. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0) ， \vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数k的取值范围为．

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15. 以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D 、 E$ 两点.已知 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ， $| D E | = 2 \sqrt{5}$ ．则 $C$ 的焦点到准线的距离为.

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16. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢”问：良马与驽马日相逢？(用数字作答)

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 过点 $P (\sqrt{3} ， - 1)$ ，且其倾斜角是直线 $y = - \sqrt{3} x + 1$ 的倾斜角的 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $m$ 与直线 $l$ 平行，且点 $P$ 到直线 $m$ 的距离是3，求直线 $m$ 的方程．

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18. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = - 2 x$ 上，且过点 $(2 ， - 1) ， (0 ， - 3)$

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过原点，并且被圆 $C$ 截得的弦长为2，求直线l的方程.

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19. 在① $S_{4} = 20$ ，② $S_{3} = 2 a_{3}$ ，③ $3 a_{3} - a_{4} = b_{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = b_{4}$ ， ▲ ， $b_{2} = 8 ， b_{1} - 3 b_{3} = 4$ ，是否存在正整数k，使得数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前k项和 $T_{k} > \frac{3}{4}$ ？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由，

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ，O为 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点M在棱 $B C$ 上，且二面角 $M - P A - C$ 为 $30 °$ ，求 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值．

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21. “绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为 $a_{n}$ 万平方公里．

(1)、求第n年绿洲面积 $a_{n}$ 与上一年绿洲面积 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的关系；

(2)、判断 ${a_{n} - \frac{4}{5}}$ 是否是等比数列，并说明理由；

(3)、至少经过几年，绿洲面积可超过60%？ $(\lg 2 = 0.30 10)$

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、设动直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ ，且与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = - \frac{7}{16}$ 恒成立.若存在，求点 $Q$ 的坐标.若不存在，请说明理由.

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