山东省临沂市罗庄区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{4} + a_{5} = 12$ ，则 $S_{8}$ 的值为（）

A、14 B、28 C、36 D、48

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2. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1 ， m) (m > 0)$ 到其焦点的距离为5，则实数 $m$ 的值是（）

A、-4 B、2 C、4 D、8

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3. 已知过点 $P (2 ， 2)$ 的直线与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 相切，且与直线 $a x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、- $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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4. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{4}{3} ， - \frac{2}{3} ， \frac{4}{3})$ B、 $(2 ， - 1 ， 2)$ C、 $(\frac{2}{3} ， - \frac{4}{3} ， \frac{2}{3})$ D、 $(1 ， - 2 ， 1)$

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5. 已知矩形 $A B C D$ ， $P$ 为平面 $A B C D$ 外一点，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 上的点，且 $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{P N} = \vec{N D}$ ， $\vec{N M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{6}$

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6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A、96里 B、48里 C、192里 D、24里

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7. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1 (m > 1)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{n^{2}} - y^{2} = 1 (n > 0)$ 的焦点重合， $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $m > n$ 且 $e_{1} e_{2} > 1$ B、 $m > n$ 且 $e_{1} e_{1} < 1$ C、 $m < n$ 且 $e_{1} e_{2} > 1$ D、 $m < n$ 且 $e_{1} e_{2} < 1$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时 $x f^{'} (x) + f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$

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二、多选题

9. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，下列结论一定成立的是（）

A、若 $a_{3} > 0$ ，则 $a_{2021} > 0$ B、若 $a_{4} > 0$ ，则 $a_{2021} < 0$ C、若 $a_{3} > 0$ ，则 $S_{2021} > 0$ D、若 $a_{4} > 0$ ，则 $S_{2021} > 0$

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10. 已知双曲线 $C$ 过点 $(1 ， \sqrt{2})$ 且渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的一条渐近线上， $O$ 为坐标原点， $F$ 为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为2 B、双曲线 $C$ 的方程是 $3 x^{2} - y^{2} = 1$ C、 $| P F |$ 的最小值为2 D、直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 与 $C$ 有两个公共点

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11. 已知 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是各条棱长均等于1的正三棱柱， $D$ 是侧棱 $C C_{1}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $A C$ 与平面 $A B_{1} D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、平面 $A B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角是 $60^{\circ}$ C、 $A_{1} B ⊥ A D$ D、平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B_{1} D$

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12. 函数 $f (x) = a (e^{x} - 1) + x (x - 2)$ ，其图象在坐标原点处与 $y = x$ 相切，则（）

A、 $a = 3$ B、函数 $f (x)$ 没有最小值 C、函数 $f (x)$ 存在两个极值 D、函数 $f (x)$ 存在两个零点

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三、填空题

13. 直线l₁：(3＋m)x＋4y＝5－3m ， l₂：2x＋(5＋m)y＝8，若l₁∥l₂ ，则m＝.

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14. 设 $P ， Q$ 分别为直线 $x - y = 0$ 和圆 $x^{2} + {(y - 6)}^{2} = 2$ 上的点，则 $| P Q |$ 的最小值为.

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{1} + a_{n} + n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2021}} =$ ．

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16. 已知过点 $P (0 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $f (x) = a x^{2}$ 和 $g (x) = \ln x$ 都相切，则 $a =$ ；若直线 $x = m$ 与这两条曲线都相交，交点分别为 $M$ ， $N$ ，则 $| M N |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在①对任意 $n > 1$ 满足 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 (S_{n} + 1)$ ；② $S_{n + 1} - 2 = S_{n} + a_{n}$ ；③ $S_{n} = n a_{n + 1} - n (n + 1)$ .这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{2} = 4 ，$ ▲ ，若数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；若数列 ${a_{n}}$ 不是等差数列，说明理由.

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18. 已知函数 $f (x) = (m + 1) x + x \ln x$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．

(2)、 $m = - 1$ 时，若 $g (x) = \frac{1}{f (x)}$ ，求 $g (x)$ 的定义域，并分析其单调性．

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19. 已知直线 $l ： y = k x (k \neq 0)$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、若 $| A B | = \sqrt{14}$ ，求 $k$ ；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得当 $k$ 变化时，总有直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率之和为0，若存在，求出点 $M$ 的坐标：若不存在，说明理由．

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20. 如图，已知三棱锥 $M - A B C$ 中， $M A = M B = M C = A C = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = B C = 2$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点，点 $N$ 在边 $B C$ 上，且 $\vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ．

(1)、证明： $B O ⊥$ 平面 $A M C$ ；

(2)、求二面角 $N - A M - C$ 的正弦值．

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21. 知椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，并且经过点 $(0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、动直线 $l$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点 $M$ ，与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $D$ ，求 $△ O M D$ 面积的最大值，并求此时点 $D$ 的坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = - 1$ 时，方程 $f (x) = b - 3 x$ （ $b \in R$ ）在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上恰有两个不等的实数根，求实数 $b$ 的取值范围．

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