辽宁省葫芦岛市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x = C_{4}^{m} ， m \in N ， m \leq 4} ， B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${2 ， 4}$

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2. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 3 ， 5) ， \vec{b} = (3 ， - 3 ， 2)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(- 5 ， 6 ， 3)$ B、 $(1 ， 0 ， 7)$ C、 $(5 ， - 6 ， - 3)$ D、 $(- 1 ， 0 ， 7)$

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3. 已知直线 $l$ 过 $A (0 ， 1) ， B (1 ， 1 - \sqrt{3})$ 两点，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1 - \sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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4. 已知直线 $l ： 2 x + y - 5 = 0$ ，圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 6$ ，则圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、0 D、 $\sqrt{5}$

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5. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{16} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{1}{16})$

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6. 如图，一只蚂蚁在 $A$ 处觅食（蚂蚁只能走黑色实线)， $B$ 处有一块巧克力，蚂蚁找到巧克力的最短路径爬法有（）

A、210种 B、72种 C、35种 D、12种

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7. 将边长为 $1$ 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$ 及其内部)绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图， $\overset{⌢}{A C}$ 长为 $\frac{5 π}{6}$ ， $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{π}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧，则直线 $B_{1} C$ 与平面 $A O C$ 所成的角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 若 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $O$ 是坐标原点.过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，若 $| P F_{1} | = \sqrt{5} | O P |$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、5 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知 $l ， m$ 为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，且 $l ⊥ α ， m / / β$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $l / / m$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $l ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $α / / β$ ，则 $l ⊥ m$

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10. 已知曲线 $C ： m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，则下列正确的是（）

A、若 $m > n > 0 ，$ 则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $x$ 轴上 B、若 $m = n > 0 ，$ 则 $C$ 是圆，其半径为 $\frac{\sqrt{n}}{n}$ C、若 $m n < 0 ，$ 则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{n}{m}} x$ D、若 $m > 0 ， n = 0$ ，则 $C$ 是两条直线

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E ， F$ 分别是棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 的中点，过 $E F$ 的平面与棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 分别交于点 $G ， H$ .设 $B G = x ， x \in [0 ， 1]$ .下列结论正确的是（）

A、四边形 $E G F H$ 一定是菱形 B、 $A C / /$ 平面 $E G F H$ C、四棱锥 $A - E G F H$ 的体积为定值 D、四边形 $E G F H$ 的面积 $S = f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上单调递增

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12. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转转瞬间无处寻觅，已知 $M (0 ， 2)$ ，直线 $l ： y = 0$ ，若某直线上存在点 $P$ ，使得点 $P$ 到点 $M$ 的距离比到直线 $l$ 的距离大 $2$ .则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论错误的是（）

A、 $y = - \frac{1}{4} x + 1$ 是“最远距离直线” B、 $y = 2 x - 6$ 不是“最远距离直线” C、点 $P$ 的轨迹与直线 $l ： y = 2$ 是没有交汇的轨迹(即两个轨迹没有交点） D、点 $P$ 的轨迹曲线是一条线段

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三、填空题

13. 已知直线 $4 x + m y - 6 = 0$ 与直线 $5 x - (m - 1) y + 8 = 0$ 垂直，则实数 $m$ 的取值为．

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14. 若 ${(a x^{2} - \frac{b}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数为-20，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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15. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书主要记述了积算（即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数14种计算器械的使用方法，某研究性学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人.该小组搜集两仪、三才、五行、八卦、九宫5种计算器械的资料.每人搜集一种，每种资料都要有人搜集，其中甲乙不搜集两仪，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宫，则不同的分配方案的种数.(用数字填写答案）

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16. 在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是棱 $A_{1} D_{1} ， C_{1} D_{1}$ 的中点， $N$ 为线段 $B_{1} C$ 的中点.若 $P ， M$ 分别为 $D_{1} B ， E F$ 的动点，则 $P M + P N$ 最小时直线 $P M$ 与直线 $P N$ 所成的角的余弦值为．

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四、解答题

17. 在 ${(2 x^{4} + \frac{1}{x})}^{n} (n \in N_{+})$ 的展开式中.

(1)、若存在常数项，求 $n$ 的最小值；

(2)、①展开式中二项式系数和为1024；
②展开式中所有的系数和为243；

③展开式中第4项和第5项的二项式系数相等在以上①②③中任选一项作答.

（i）求 $n$ ；

（ii）若展开式中存在常数项，求常数项；若不存在说明理由．

(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

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18. 如图，已知在直四棱锥 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D ⊥ D C$ ， $A B / / D C$ ， $D C = D D_{1} = 2 A D = 2 A B = 2$

(1)、求证： $D B ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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19. 已知圆 $C$ 经过 $M (- 2 ， 2) ， N (3 ， - 3)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ 上.

(1)、求圆的方程；

(2)、若直线 $l / / M N$ ，且 $l$ 与圆 $C$ 交于点 $A ， B$ 且以线段 $A B$ 为直径的圆经过坐标原点，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (a ， b) (a > p)$ 在抛物线 $C$ 上，且 $△ F O M$ 外接圆的圆心到准线的距离为 $\frac{3}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A (1 ， m)$ 在抛物线 $C$ 上 $(m > 0)$ ，过点 $F$ 作斜率为 $k (\frac{1}{2} \leq k \leq 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，求 $△ A P Q$ 面积的取值范围.

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21. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图阳马 $S - A B C D$ 中. $S D ⊥$ 平面 $A B C D ， A D = \sqrt{2} ， D C = S D = 2$ .点 $M$ 在侧棱 $S C$ 上， $∠ A B M = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $S A //$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求二面角 $S - A M - B$ 的余弦值

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22. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，动点 $M$ 在椭圆 $C$ 上， $△ M F_{1} F_{2}$ 面积最大值为 $2$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，问：是否存在实数，使得 $| A F_{1} | + | B F_{1} | = t | A F_{1} | | B F_{1} |$ 恒成立.如果存在.求出 $t$ 的值.如果不存在，说明理由.

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