辽宁省抚顺市六校2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3}{4} π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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2. ${(x^{2} + \frac{3}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）

A、90 B、80 C、70 D、60

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3. 抛物线 $x^{2} = 20 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = 5$ B、 $y = - 5$ C、 $x = - 5$ D、 $y = 5$

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4. 设 $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ .则 $m // n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m // n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $α \cap β = m$ ， $n // α$ ，则 $m // n$

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5. 已知直线 $l_{1} ： a x + b y + a = 0$ ， $l_{2} ： x + a y + b = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，且这两条直线间的距离为1，则点 $P (a ， b)$ 到坐标原点的距离为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、12 D、27

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6. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长和高均为2，点 $D$ 为侧棱 $C C_{1}$ 的中点，连接 $A D$ ， $B D$ ，则点 $C_{1}$ 到平面 $A B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $C D = 3$ ， $B D = 5$ ，点 $E$ 在棱 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ，则异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{3 \sqrt{26}}{26}$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $P B = P C = 4 \sqrt{3}$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、40π B、80π C、 $\frac{80}{3} π$ D、 $80 \sqrt{2} π$

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二、多选题

9. 已知直线l的方程为ax+by-2＝0，下列判断正确的是（）

A、若ab＞0，则l的斜率小于0 B、若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90° C、l可能经过坐标原点 D、若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°

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10. $C_{6}^{n}$ 的值可能为（）

A、6 B、12 C、15 D、20

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11. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4 ， 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ B、 $5 | \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$

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12. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $| P F_{1} | = \frac{4}{3}$ ， $| P F_{2} | = \frac{14}{3}$ ．过点 $M (- 2 ， 1)$ 的直线交椭圆于 $A ， B$ 两点，且 $A ， B$ 关于点 $M$ 对称，则下列结论正确的有（）

A、椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、椭圆的焦距为 $\sqrt{5}$ C、椭圆上存在 $4$ 个点 $Q$ ，使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、直线 $l$ 的方程为 $8 x - 9 y + 25 = 0$

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三、填空题

13. 经过点 $A (2 ， - 1)$ 且和圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 1 = 0$ 相切的直线 $l$ 的方程为.

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14. 若五位游客与两位导游站成一排拍照，则两位导游相邻的不同排法数为.

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15. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $D$ ， $E$ 两点.若 $C$ 的焦距为4，则 $△ O D E$ 面积的最大值为.

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16. 已知 $P$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 1 = 0$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为；此时 ${| P C |}^{2} =$ .

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四、解答题

17. 在①椭圆 $C$ 的长轴长为8；②椭圆 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 有相同的焦点；③ $F_{1}$ ， $F_{2}$ 与椭圆 $C$ 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
问题：已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 垂直于 $x$ 轴的弦长为6，且 .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设点 $A (- 2 ， \sqrt{2})$ ，点 $M$ 是椭圆C上的任意一点，求 $| M A | + | M F_{2} |$ 的最大值．

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18. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (2 \sqrt{2} ， 1)$ ，且实轴长是半焦距的 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ 倍.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程.

(2)、若直线 $l ： x - y + 2 = 0$ 与双曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $| P Q |$ .

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为线段 $A C_{1}$ 的中点， $N$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点，且 $A A_{1} = A_{1} B_{1}$ ．

(1)、证明： $M N ⊥ A C_{1}$ ．

(2)、若 $B_{1} C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，求 $B_{1} M$ 与平面 $A C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 在如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 4$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 3$ ， $P A = P B$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P A$ ， $A D$ 的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $E F //$ 平面 $P C D$ ．

(2)、若 $P A = 2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $E - C F - A$ 的余弦值．

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21. 设 $A$ ， $B$ 是平面上两点，则满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = k$ (其中 $k$ 为常数， $k \neq 0$ 且 $k \neq 1$ )的点 $P$ 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知 $A (\sqrt{6} ， 0)$ ， $B (\frac{\sqrt{6}}{2} ， 0)$ ，且 $k = \sqrt{2}$ .

(1)、求点 $P$ 所在圆 $M$ 的方程.

(2)、已知圆 $Ω ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 与 $x$ 轴交于 $C$ ， $D$ 两点(点 $C$ 在点 $D$ 的左边)，斜率不为0的直线 $l$ 过点 $D$ 且与圆 $M$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，证明： $∠ E C D = ∠ F C D$ .

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22. 已知 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上两个不同的点， $C$ 的焦点为 $F$ ．

(1)、若直线 $A B$ 过焦点 $F$ ，且 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = 32$ ，求 $| A B |$ 的值；

(2)、已知点 $P (- 2 ， 2)$ ，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ ，且 $k_{P A} + k_{P B} = - 1$ ，当直线 $A B$ 过定点，且定点在 $x$ 轴上时，点 $D$ 在直线 $A B$ 上，满足 $\vec{P D} \cdot \vec{A B} = 0$ ，求点 $D$ 的轨迹方程．

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