辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点到准线的距离等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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2. 若不重合的直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的方向向量分别为 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， - 6 ， 6)$ ，则（）

A、 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ B、 $l_{1}$ ⊥ $l_{2}$ C、 $l_{1} ， l_{2}$ 相交但不垂直 D、不能确定

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3. 已知点 $G$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 所在平面外一点，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} =$ （）

A、 $\vec{P G}$ B、 $2 \vec{P G}$ C、 $3 \vec{P G}$ D、 $4 \vec{P G}$

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4. ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为（）

A、80 B、-80 C、40 D、-40

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5. 已知直线 $l$ 的方程为 $3 x - 4 y = b$ ，圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0$ ，则“ $b = 2$ ”是“ $l$ 与 $C$ 相切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）

A、3种 B、6种 C、9种 D、18种

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ （其中 $c > 0$ ），过焦点 $F_{1}$ 向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线 $C$ 的右支于点 $P$ ，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $x \pm y = 0$ B、 $2 x \pm y = 0$ C、 $x \pm 2 y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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8. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ，设点 $M$ 是棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在底面 $A B C$ 所在平面内，若平面 $B_{1} M P$ 分别与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 和平面 $A B C$ 所成的锐二面角相等，则点 $P$ 到点 $B$ 的最短距离是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 方程 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示的曲线可能是（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点为 $F$ ，点 $A (1 ， 3)$ ，点 $P$ 在抛物线上，则下列结论正确的是（）

A、 $| P A | + | P F |$ 的最小值为3 B、 $| P A | + | P F |$ 的最大值为7 C、 $| P A | - | P F |$ 的最小值为-2 D、 $| P A | - | P F |$ 的最大值为3

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11. 关于 ${(\sqrt{x} - 1)}^{2020}$ 及其展开式，下列说法正确的有（）

A、该二项展开式中第六项为 $C_{2020}^{6} x^{1007}$ B、该二项展开式中非常数项的系数和为-1 C、该二项展开式中不含有理项 D、 $9^{2020}$ 除以100的余数是1

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12. 如图所示，已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $A D = 1$ ， $C D = \sqrt{5}$ ， $∠ A D C = \frac{π}{2}$ ．沿直线 $A C$ 将 $△ A B C$ 翻折成 $△ A B^{'} C$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{B^{'} D} \cdot \vec{A C} = - 2$ B、 $\vec{B^{'} C} \cdot \vec{A D} = 1$ C、直线 $A C$ 与 $B^{'} D$ 成角余弦的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $C$ 到平面 $A B^{'} D$ 的距离的最大值为 $\frac{\sqrt{210}}{7}$

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三、填空题

13. $C_{4}^{0} + C_{4}^{2} + C_{4}^{4} =$ ．

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14. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (4 ， - 2 ， 4)$ ， $\vec{A D} = (- 4 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (- 6 ， 2 ， - 8)$ ，则这个四棱锥的高 $h =$ ．

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15. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、兔、马和羊，丙同学这十二个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物，那么不同的选法有种．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左支交于点 $A$ ，与右支交于点 $B$ ，若 $| A F_{1} | = 2 a$ ， $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A F_{1} F_{2}}}{S_{△ A B F_{2}}} =$ ，双曲线 $C$ 的离心率为．

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四、解答题

17. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 内有一点 $P (2 ， 2)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、当 $l$ 经过圆心 $C$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求弦长 $| A B |$ 的最小值，以及此时直线 $l$ 的方程．

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18. 在① $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，② $\frac{| M A |}{| M B |} = 3$ ，③以 $A B$ 为直径的圆与准线相切，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求出直线 $l$ 的一般方程．
问题：已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，过 $x$ 轴正半轴上一点 $M$ ，倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， ▲ ，求直线 $l$ 的一般方程．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = B C = 3$ ， $A C = 2$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、求证： $B_{1} C //$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 成角的正弦值．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O$ 为坐标原点，已知 $A (x_{0} ， 0)$ ， $B (0 ， y_{0})$ 两点分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上运动，且 $| A B | = 1$ ，若动点 $P (x ， y)$ 满足 $\vec{O P} = \sqrt{5} \vec{O A} + 2 \vec{O B}$ ．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $D (0 ， 2)$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点．如果 $△ D M N$ 的重心恰好在 $x$ 轴上，求 $k$ 的取值范围．

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21. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为1， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $E D = F B = 1$ （ $E$ ， $F$ 在平面 $A B C D$ 同侧）， $G$ 为线段 $E C$ 上的动点．

(1)、求证： $A G ⊥ D F$ ；

(2)、求 $A G^{2} + B G^{2}$ 的最小值，并求取得最小值时二面角 $B - A G - C$ 的余弦值．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，左、右顶点为 $M$ ， $N$ ．

(1)、若椭圆 $E$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，设点 $P (- 4 ， n)$ （ $n \neq 0$ ），直线 $P N$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ ﹐且直线 $M P$ ， $M Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

(2)、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过 $F_{2}$ ，且与曲线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $k$ 变化时， $△ A B F_{1}$ 的内切圆面积有最大值，求椭圆 $E$ 的离心率 $e$ 的取值范围．

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