江西省抚州市2020-2021学年度高二上学期理数期末考试试卷（B卷）

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题 $p ：$ 在平面直角坐标系中，对任意两条平行的直线，它们的倾斜角相等，则 $\neg p$ 为（）．

A、在平面直角坐标系中，对任意两条平行的直线，它们的倾斜角不相等 B、在平面直角坐标系中，对任意两条不平行的直线，它们的倾斜角不相等 C、在平面直角坐标系中，存在两条不平行的直线，使得它们的倾斜角不相等 D、在平面直角坐标系中，存在两条平行的直线，使得它们的倾斜角不相等

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2. 抛物线 $x^{2} = - y$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$ C、 $(0 ， - \frac{1}{4})$ D、 $(0 ， - \frac{1}{2})$

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3. 现有 $n$ 组数对依次排列为 $(1 ， 1) ， (2 ， 3) ， (4 ， 5) ， (8 ， 7)$ ， $\dots$ ， $(a_{n} ， b_{n})$ ，则 $a_{5} + b_{5} =$ （）

A、24 B、25 C、26 D、27

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4. 某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（）

A、从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势 B、这10天白天的平均气温的极差大于6℃ C、这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大 D、这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天

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5. 若点 $P$ 是双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，则“ $| P F_{1} | = 9$ ”是“ $| P F_{2} | = 5$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知直线 $l_{1} ： a x + b y + a = 0$ ， $l_{2} ： x + a y + b = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，且这两条直线间的距离为1，则点 $P (a ， b)$ 到坐标原点的距离为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、12 D、27

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7. 在区间 $[- 3 ， 4]$ 内随机取一个实数 $k$ ，则使直线 $y = k x$ 被圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 5$ 截得的弦长小于 $2 \sqrt{3}$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{7}$

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， $B C$ 的中点，则 $E F$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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9. 设 $< t >$ 表示不大于 $t$ 的最大奇数，例如 $< 14.5 > = 13$ .执行如图所示的程序框图，则输出的 $t =$ （）

A、19 B、17 C、 $\frac{404}{21}$ D、 $\frac{134}{7}$

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10. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，直线 $y = b$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在第一象限），若梯形 $F_{1} F_{2} A B$ 的面积大于 $3 a b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， 3 - \sqrt{2})$ B、 $(3 - \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， 3 + \sqrt{2})$ D、 $(3 + \sqrt{2} ， + \infty)$

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11. 已知 $P$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 1 = 0$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $12 \sqrt{2} - 18$ B、 $6 \sqrt{3} - 18$ C、 $12 \sqrt{2} - 16$ D、 $6 \sqrt{3} - 16$

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12. 已知椭圆 $Ω ： \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $P$ 为 $Ω$ 上一点，且 $P$ 不在坐标轴上，直线 $A P$ 与直线 $y = - 3$ 交于点 $C$ ，直线 $B P$ 与直线 $y = - 3$ 将于点 $D$ ．设直线 $A P$ 的斜率为 $k$ ，则满足 $| C D | = 36$ 的 $k$ 的所有值的和为（）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{9}{4}$

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二、填空题

13. 双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为等于．

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14. 若一个正方形的内切圆的半径为1，则该正方形的面积为4．将该结论类比到空间中，若一个正方体的内切球的半径为1，则该正方体的表面积为．

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15. 若直线y＝3x+m与函数 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 的图象有公共点，则m的最小值为.

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16. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点且与此抛物线交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $| A B | < 8$ ．直线 $l$ 与抛物线 $y = x^{2} - 4$ 交于 $M ， N$ 两点，且 $M ， N$ 两点在 $y$ 轴的两侧．若 $| M N | = \sqrt{13 k^{2} + 13}$ ，则 $k =$ ．

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三、解答题

17. 已知两条直线 $l_{1} ： a x + b y - 4 = 0$ 和 $l_{2} ： x + 2 y + 2 = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 过点 $(3 ， 2)$ ，求 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标为 $(2 ， b)$ ，求 $a ， b$ ．

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18. 某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：

月份	6	7	8	9	10
广告费 $u$ （万元）	10	11	13	12	9
纯利润 $v$ （万元）	23	25	30	26	16

附：回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、根据6至10月份的数据，求出

v

关于

u

的线性回归方程；

(2)、该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告．

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19. 已知一个动点 $M$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上运动，它与定点 $Q (8 ， 0)$ 所连线段的中点为 $P$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、若点 $P$ 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.

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20. 如图，在四边形ABCD中， $A B // C D$ ，且 $A B ： B C ： C D = 3 ： 2 ： 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点E是线段AB上靠近点A的一个三等分点，以DE为折痕将 $△ A D E$ 折起，使点A到达点 $A_{1}$ 的位置，且 $A_{1} C = B C = 2$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面BCD；

(2)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，点 $E (- \frac{p}{2} ， 2)$ ， $| E F | = 2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F$ 的直线l交抛物线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，当 $E$ 到 $l$ 的距离最大时，求 $Δ E P Q$ 的面积．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，且 $a = \sqrt{2} b$ ．

(1)、求 $C$ 的方程．

(2)、若 $A$ ， $B$ 为 $C$ 上的两个动点，过 $F_{2}$ 且垂直 $x$ 轴的直线平分 $∠ A F_{2} B$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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