江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设 $x \in R$ ，则“ $2^{x} > 4$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 12 ， S_{5} = 90$ ，则等差数列 ${a_{n}}$ 公差 $d =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、4

查看试题解析
3. 若对于任意的 $x \in [0 ， 2]$ ，不等式 $x^{2} - 2 x + a > 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

查看试题解析

4. 著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的.”音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载境创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中

a_{1}

，

a_{2}

，

\dots

，

a_{13}

表示这些半音的频率，它们满足

\log_{2} {(\frac{a_{i + 1}}{a_{i}})}^{12} = 1 (i = 1 ， 2 ， \dots ， 12)

.若某一半音与

D

的频率之比为

\sqrt{2}

，则该半音为（）

频率

$a_{1}$

$a_{2}$

$a_{3}$

$a_{4}$

$a_{5}$

$a_{6}$

$a_{7}$

$a_{8}$

$a_{9}$

$a_{10}$

$a_{11}$

$a_{12}$

$a_{13}$

半音

$C$

$C^{#}$

$D$

$D^{#}$

$E$

$F$

$F^{#}$

$G$

$G^{#}$

$A$

$A^{#}$

$B$

$C$ （八度）

A、

F^{#}

B、

G

C、

G^{#}

D、

A

查看试题解析

5. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为 $A_{1} D$ 、 $A C$ 上的点，且满足 $A_{1} D = 3 M D$ ， $A N = 2 N C$ ，则异面直线 $M N$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为（）.

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
6. 航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点 $F_{1}$ .若地球的半径为 $r$ ，地球同步转移轨道的远地点 $A$ （即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为 $\frac{1}{4} r$ ，近地点B与地球表面的距离为 $\frac{1}{8} r$ ，则地球同步转移轨道的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{17}$ D、 $\frac{1}{19}$

查看试题解析
7. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $D$ ， $E$ 两点，若 $△ O D E$ 的面积为8，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
8. 如图，已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 内一动点，直线 $P A$ 和底面 $A B C$ 所成角是定值，则满足条件的点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线的一部分 B、圆的一部分 C、抛物线的一部分 D、椭圆的一部分

查看试题解析

二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{2}{b}$ B、若 $a ， b > 0$ ， $4 b + a = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为10 C、函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + x$ 的最小值是3 D、若 $a > b > c$ ， $a + b + c = 0$ ，则 $\frac{c}{a - c} > \frac{c}{b - c}$

查看试题解析
10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $B C$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角等于 $\frac{π}{4}$ B、点 $C$ 到面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、两条异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、二面角 $C - B C_{1} - D$ 的平面角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
11. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ ，（）

A、若 $m > n > 0$ ，则 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆 B、若 $m = 2 n (n > 0)$ ，则 $C$ 是椭圆，且其离心率 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若 $m n < 0$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 0$ D、若 $m = - 2 n$ ，则 $C$ 是双曲线，其离心率为 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

查看试题解析
12. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = - \frac{1}{2}$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的首项 $b_{1} = 18$ ，若 $a_{8} > b_{8}$ 且 $a_{9} > b_{9}$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $a_{8} > a_{9}$ B、 $a_{8} \cdot a_{9} < 0$ C、 $b_{9} > b_{8}$ D、 $b_{10} < 0$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知点 $A (1 ， 2 ， 3)$ ， $B (0 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{A P} = \vec{P B}$ ，则 $| \vec{A P} | =$ .

查看试题解析
14. 已知双曲线 $C$ 过点 $(3, \sqrt{2})$ 且渐近线为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则双曲线C的标准方程为.

查看试题解析
15. 某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为米.

查看试题解析
16. 如图，已知直线 $l ： y = x$ 与曲线 $C ： y = \log_{\frac{1}{2}} x$ ，设 $P_{1}$ 为曲线 $C$ 上纵坐标为1的点，过 $P_{1}$ 作 $y$ 轴的平行线交 $l$ 于 $Q_{2}$ ，过 $Q_{2}$ 作 $y$ 轴的垂线交曲线 $C$ 于 $P_{2}$ ；再过 $P_{2}$ 作 $y$ 轴的平行线交 $l$ 于点 $Q_{3}$ ，过 $Q_{3}$ 作 $y$ 轴的垂线交曲线 $C$ 于 $P_{3}$ ； $\dots$ 设点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots$ ， $P_{m}$ 的横坐标分别为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ .若 $a_{2019} = t$ ，则 $a_{2020} =$ （用 $t$ 表示）.

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{3}$ ，② $a_{n + 1} = a_{n} + n - 8$ ，③ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = - \frac{1}{2}$ 这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 4$ ， ▲ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）判断 $S_{n}$ 是否存在最大值（说明理由）.

查看试题解析
18. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $S C$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ C D$ ；

(2)、若 $S D = 8$ ，求直线 $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $\sqrt{S_{n}} = \sqrt{S_{n - 1}} + 2 (n \geq 2 ， n \in N)$ ，且 $a_{1} = 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，及通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = \frac{16}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ， $T_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

查看试题解析
20. 如图，在四枝锥 $S - A B C D$ 中， $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $B C ⊥ C D$ ，平面 $S C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ S C D$ 是以 $C D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C = 2 A D = 2 C D = 4$ ， $E$ 为线段 $B S$ 上一点， $B E = λ E S$ .

(1)、若 $λ = 2$ ，证明： $S D //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若二面角 $S - A C - E$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $λ$ 的值.

查看试题解析
21. 圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线 $C_{1}$ 和一个“开了孔”的椭圆 $C_{2}$ 构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛物线均关于 $x$ 轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C_{2}$ 的焦点，同时 $F_{1}$ 也为抛物线 $C_{1}$ 的焦点，其中椭圆的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，在 $F_{2}$ 处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到 $F_{2}$ 经过的路程为8.由 $F_{2}$ 照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若由 $F_{2}$ 发出的一条光线经由椭圆 $C_{2}$ 上的点 $P$ 反射后穿过小孔，再经抛物线上的点 $Q$ 反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段 $Q F_{1}$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，求线段 $P Q$ 的长.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，左焦点为 $F^{'}$ ，且椭圆 $C$ 上的点与两个焦点 $F$ ， $F^{'}$ 所构成的三角形的面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，已知 $P$ ， $Q$ 两点是位于 $x$ 轴同侧的椭圆上的两点，且直线 $P F$ ， $Q F$ 的斜率之和为0，试问 $△ P F Q$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析