河南省新乡市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $\log_{2} x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $\log_{2} x ⩽ 0$ B、 $\forall x ⩽ 0$ ， $\log_{2} x ⩽ 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $\log_{2} x ⩽ 0$ D、 $\exists x ⩽ 0$ ， $\log_{2} x ⩽ 0$

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2. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x ∣ 2 + 3 x > 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ x > - 2}$ C、 ${x ∣ x > 4}$ D、 ${x ∣ 1 < x < 4}$

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3. 现有下列说法：
①若 $x + y = 0$ ，则 $| x - y | = x - y$ ；②若 $a > b$ ，则 $a - c > b - c$ ；③命题“若 $x ⩾ 0$ ，则 $2^{x} + x ⩾ 1$ ”的否命题是“若 $x ⩾ 0$ ，则 $2^{x} + x < 1$ ”.其中正确说法的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin B + 2 c \sin C = a \sin A$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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5. 若 $b > a > 0$ ， $m < - a$ ，设 $X = \frac{b}{a}$ ， $Y = \frac{b + m}{a + m}$ ，则（）

A、 $X > Y$ B、 $X < Y$ C、 $X = Y$ D、 $X$ 与 $Y$ 的大小关系不确定

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6. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $D_{1} B$ 上一点，且 $B P = 2 D_{1} P$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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7. 已知 $\log_{2} (a - 1) + \log_{2} (b + 2) = 4$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、3

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点，若O为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，则异面直线 $C_{1} E$ 与 $A O$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{2 \sqrt{30}}{15}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1$ ， $a_{1} = 1$ ，设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则满足 $S_{n} \geq n (n - \frac{14}{3})$ )的 $n$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 已知直线 $l$ 与椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (2 ， 1)$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的斜率是（）

A、 $- \frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{9}{8}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $\frac{4 S}{\tan C} = b^{2} \cos C + b c \cos B$ ， $a + b = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $S =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$

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12. 如图，已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 8 x$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，过圆心 $C_{2}$ 的直线 $l$ 与抛物线和圆依次交于点 $P$ ， $M$ ， $N$ ， $Q$ ，则 $| P M | \cdot | Q N | =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $B = \frac{π}{3}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $C = \frac{5 π}{12}$ ，则 $b =$ .

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14. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + 12 = 0$ ， $S_{3} + 12 = 0$ ，则 $a_{6} + a_{5} =$ .

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15. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长和高均为2，点 $D$ 为侧棱 ${CC}_{1}$ 的中点，连接 $A D$ ， $B D$ ，则 $C_{1} D$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值为.

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16. 过双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点 $F$ 作圆 $C$ ： $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{1}{2}$ 的切线，此切线与 $M$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ .

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三、解答题

17. 已知 $p$ ： $| m - 1 | > a (a > 0)$ ， $q$ ：方程 $\frac{x^{2}}{5 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示双曲线.

(1)、若 $q$ 是真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，锐角 $△ A B C$ 外接圆的半径为2，点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上， $A B = 3$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A C D$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{7}}{4}$ .

(1)、求 $\sin ∠ B A C$ ；

(2)、求 $A D$ 的长.

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ，且 $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n} - n (n + 1)$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n} - 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，已知圆 $M$ ： ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 16$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = m x (0 < m < 10)$ 相切.

(1)、求 $C$ 的焦点坐标；

(2)、若直线 $4 x - 3 y + a = 0$ ( $a < 0$ )与圆 $M$ 相切，且与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ .

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A C = 3 D C$ ， $D E / / B C$ ，沿 $D E$ 将点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处，使得 $A_{1} C ⊥ D C$ ，点 $M$ 为 $A_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B ⊥$ 平面 $C M D$ .

(2)、求二面角 $B - C M - E$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $A$ ， $B$ 若 $△ A B O$ 的面积为 $\frac{3}{5}$ （ $O$ 为坐标原点），求直线 $l$ 的方程．

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