河南省南阳市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 命题： $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - \sin x \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - \sin x > 0$

查看试题解析
2. 双曲线 $m x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = 4$ ， $a_{5} = 13$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ （）

A、27 B、35 C、38 D、42

查看试题解析
4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 ， \\ x \leq 1 ， \\ y \leq 1 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

查看试题解析
5. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 4 b = 2$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为（）

A、32 B、16 C、8 D、4

查看试题解析
6. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4 ， 5)$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ B、 $5 | \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$

查看试题解析
7. 已知向量 $\vec{A B} = (1 ， 2)$ ， $\vec{C D} = (- 2 ， m)$ ，则“ $m < 1$ ”是“ $< \vec{A B} ， \vec{C D} >$ 为钝角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $C D = 3$ ， $B D = 5$ ，点 $E$ 在棱 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ，则异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{3 \sqrt{26}}{26}$

查看试题解析
9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F ， A ， B$ 是双曲线 $C$ 的一条渐近线上关于原点对称的两点， $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = 0$ ，且 $| A B | = 4 b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{2^{2}} a_{2} + \frac{1}{2^{3}} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n}} a_{n} = 2 n$ ，则 $\frac{a_{1} a_{2}}{2} + \frac{a_{2} a_{3}}{2^{2}} + \frac{a_{3} a_{4}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2^{n}} =$ （）

A、 $2^{n + 5} - 48$ B、 $2^{n + 4} - 16$ C、 $\frac{4^{n + 1} + 32}{3}$ D、 $\frac{2 \cdot 4^{n + 2} - 60}{3}$

查看试题解析
11. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边．已知 $b \sin B + c sin C - a \sin A = \frac{3}{2} c \sin B$ ，且 $b + 2 c = \frac{32}{3} cos A$ ，当 $a$ 取得最小值时， $c =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、3

查看试题解析
12. 如图，正四面体 $A B C D$ 的棱长为1， $△ B C D$ 的中心为 $O$ ，过点 $O$ 的平面 $a$ 与棱 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 所在的直线分别交于 $P$ ， $Q$ ， $R$ ， $S$ ， $T$ ，则 $\frac{1}{| \vec{A P} |} + \frac{1}{| \vec{A Q} |} + \frac{1}{| \vec{A R} |} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{13}{3}$ D、4

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $p ： a - 2 < x < a + 2$ ， $q ： - 1 < x < 7$ ，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.

查看试题解析
14. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长和高均为2，点 $D$ 为侧棱 $C C_{1}$ 的中点，连接 $A D$ ， $B D$ ，则点 $C_{1}$ 到平面 $A B D$ 的距离为.

查看试题解析
15. 给出下列命题：
①函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 2}$ 的最小值是0；

②“若 $x^{2} = 4$ ，则 $x = 2$ ”的否命题；

③若 $b^{2} = a c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列；

④在 $△ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $B C > A C$ .

其中所有真命题的序号是.

查看试题解析
16. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ，过点F的直线l与抛物线C交于A ， B两点.点D为 $O A$ 的中点，B ， D在y轴上的投影分别为P ， Q ，则 $| P Q |$ 的最小值是.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知 $p$ ： $- 2 < x + 1 < 5$ ． $q$ ： $x^{2} + 4 x - 5 > 0$ .

(1)、若 $\neg q$ 是真命题，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 是真命题， $p \land q$ 是假命题，求 $x$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， \frac{3 a_{n}}{2} ， 2 S_{n}$ 成等差数列.

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点.

(1)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求弦长 $| A B |$ ；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为2， $O$ 为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

查看试题解析
20. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $(a + 2 b) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = a (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + 2 b (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ .

(1)、若 $a = 4$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、证明： $\tan C = \frac{\sin A + 2 \sin B}{\cos A + 2 \cos B}$ .

查看试题解析
21. 如图，平面 $A B C D E ⊥$ 平面 $C E F G$ ，四边形 $C E F G$ 为正方形，点 $B$ 在正方形 $A C D E$ 的外部，且 $A B = B C = \sqrt{5}$ ， $A C = 4$ ．

(1)、证明： $C E //$ 平面 $B F G$ ；

(2)、求平面 $B F G$ 与平面 $A B C D E$ 所成锐二面角的余弦值．

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $M (0 ， m) (m > 1)$ ，经过点 $M$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若原点到直线 $l$ 的距离为 $1$ ，且 $\vec{M A} = \vec{A B}$ ，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析