河南省南阳市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的通径长为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $1 - \frac{1}{x} \leq \ln x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $1 - \frac{1}{x} \leq \ln x$ B、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $1 - \frac{1}{x_{0}} \leq \ln x_{0}$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $1 - \frac{1}{x_{0}} \leq \ln x_{0}$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $1 - \frac{1}{x_{0}} > \ln x_{0}$

查看试题解析
3. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零﹐且满足 $a_{2019} + a_{2021} = a_{2020}$ ﹐则（）

A、 $s_{2018} = s_{2019}$ B、 $s_{2018} = s_{2020}$ C、 $s_{2019} = s_{2020}$ D、 $s_{2019} = s_{2021}$

查看试题解析
4. 关于 $x$ 的不等式 $(a x - b) (x - 2) > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，则满足条件的一组有序实数对 $(a ， b)$ 的值可以是（）

A、(1，1) B、(-1，-1) C、(-2，-1) D、(2，1)

查看试题解析
5. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{8} a_{10} = {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ，则 $a_{7} a_{10}^{2} =$ （）

A、8 B、64 C、±8 D、±64

查看试题解析
6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a = \sqrt{2}$ ， $4 S = b^{2} + c^{2} - 2$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、4π B、2π C、π D、 $\frac{π}{2}$

查看试题解析
7. 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{k - 2} - \frac{y^{2}}{k + 2} = 1$ ( $k \geq 3$ )，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{6}]$ B、 $(1 ， \sqrt{6}]$ C、 $(\sqrt{2} ， 6]$ D、 $(2 ， 6]$

查看试题解析
8. 如图，已知 $E$ ､ $F$ 分别是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则截面 $A E F D_{1}$ 与底面 $A B C D$ 的夹角的余弦值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
9. 记不等式组 ${\begin{array}{l} y \leq 2 x - 1 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq - 1 \\ y \geq k x - 2 \end{array}$ 表示的平面区域为D ，若平面区域D为四边形，则实数k的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{4} < k < \frac{11}{4}$ B、 $\frac{1}{4} < k \leq \frac{11}{4}$ C、 $\frac{1}{3} < k < \frac{11}{3}$ D、 $\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{11}{3}$

查看试题解析
10. 已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ ( $a > 0$ )的左､右顶点，点 $M$ 是以虚轴为直径的圆 $O$ 上的且在第一象限内的任意一点，则（）

A、 ${| M A_{1} |}^{2} + {| M A_{2} |}^{2}$ 的值随着点 $M$ 的横坐标的增大而减小 B、 ${| M A_{1} |}^{2} + {| M A_{2} |}^{2}$ 的值随着点 $M$ 的横坐标的增大而增大 C、当点 $M$ 的横､纵坐标相等时， ${| M A_{1} |}^{2} + {| M A_{2} |}^{2}$ 的值最大 D、 ${| M A_{1} |}^{2} + {| M A_{2} |}^{2}$ 是定值

查看试题解析
11. 下列命题中真命题的个数是（）
①向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 1 ， 2)$ 平行于同一个平面；②已知过抛物线 $C$ 的焦点的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点，那么抛物线 $C$ 的准线与以 $A B$ 为直径的圆的位置关系是相交但不经过圆心；③若关于 $x$ 的方程 $4^{x} + (4 + a) \cdot 2^{x} + 4 = 0$ 有解，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty ， - 8] \cup [0 ， + \infty)$ ；④椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的点到长轴两个端点的距离之和的最大值是 $2 \sqrt{7}$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上有三个点 $A$ ､ $B$ ､ $C$ ， $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点分别为 $D$ ､ $E$ ､ $F$ ， $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的斜率都存在且不为0，若 $k_{O D} + k_{O E} + k_{O F} = - \frac{3}{4}$ ( $O$ 为坐标原点)，则 $\frac{1}{k_{A B}} + \frac{1}{k_{B C}} + \frac{1}{k_{A C}} =$ （）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析

二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，若 $C = 60 °$ ， $A C = \sqrt{6}$ ， $A B = 3$ ，则角 $A =$ .

查看试题解析
14. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{m + k} = a_{m} + a_{k}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ .

查看试题解析
15. 对于任意正数 $a$ ， $b$ ，不等式 $(2 a b + a^{2}) k \leq 4 b^{2} + 4 a b + 4 a^{2}$ 恒成立，则实数 $k$ 的最大值.

查看试题解析
16. 已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )上关于原点对称的两个点， $F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，且满足 $| A F | = 5 | B F |$ ， $| A B | = 2 b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知命题 $p$ ：对任意 $x \in R$ ， $(m^{2} + 4 m - 5) x^{2} - 4 (m - 1) x + 3 > 0$ 恒成立；命题 $q$ ：方程 $\frac{x^{2}}{9 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 1$ ， $a_{2} + S_{3} = 11$ ， $b_{4} - a_{3} = b_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 及 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} 1 + \log_{2} a_{n} ， n = 2 m - 1 \\ 2^{b_{n}} ， n = 2 m \end{array}$ ，其中 $m \in N^{*}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{c_{2 i - 1} \cdot c_{2 i + 1}}) (n \in N^{*})$ ．

查看试题解析
19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 \sin A \cos C + \sin B = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的最大值；

(2)、当角 $B$ 最大时，若 $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ )的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点(异于坐标原点 $O$ ).

(1)、若点 $M$ 的坐标为(3，2)，点 $P$ 为抛物线 $C$ 上一动点，线段 $M F$ 与抛物线 $C$ 无交点，且 $| P M | + | P F |$ 的最小值为5，求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、当直线 $l$ 过 $(2 p ， 0)$ 时，证明： $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ .

查看试题解析
21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 上的一点， $P E = 2 E C$ ．

(1)、证明 $P C ⊥$ 平面 $B E D$ ；

(2)、设二面角 $A - P B - C$ 为 $90 °$ ，求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的大小

查看试题解析
22. 已知圆 $C_{1} ： {(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = {(\sqrt{6} - 2)}^{2}$ ，圆 $C_{2} ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = {(\sqrt{6} + 2)}^{2}$ ，动圆 $P$ 与圆 $C_{1}$ 外切且与圆 $C_{2}$ 内切，设圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 是曲线 $C$ 上的动点，且直线 $M N$ 过点 $D (0 ， 1)$ ，问在 $y$ 轴上是否存在定点 $Q$ .使得 $∠ M Q O = ∠ N Q O$ ( $O$ 为坐标原点).若存在，请求出定点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析