河南省南阳地区2020-2021学年高二上学期文数期末适应性摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题： $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - \sin x \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - \sin x > 0$

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2. 双曲线 $m x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = 4$ ， $a_{5} = 13$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ （）

A、27 B、35 C、38 D、42

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4. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - f^{'} (2) x + 3$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 ， \\ x \leq 1 ， \\ y \leq 1 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 4 b = 2$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为（）

A、32 B、16 C、8 D、4

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7. 已知向量 $\vec{A B} = (1 ， 2)$ ， $\vec{C D} = (- 2 ， m)$ ，则“ $m < 1$ ”是“ $< \vec{A B} ， \vec{C D} >$ 为钝角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若函数 $f (x) = x^{3} - 6 x + a$ 在 $[- 2 ， 1]$ 上的最大值是4，则 $a =$ （）

A、0 B、 $4 - 4 \sqrt{2}$ C、9 D、 $4 \sqrt{2} - 1$

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F ， A ， B$ 是双曲线 $C$ 的一条渐近线上关于原点对称的两点， $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = 0$ ，且 $| A B | = 4 b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{2^{2}} a_{2} + \frac{1}{2^{3}} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n}} a_{n} = 2 n$ ，则 $\frac{a_{1} a_{2}}{2} + \frac{a_{2} a_{3}}{2^{2}} + \frac{a_{3} a_{4}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2^{n}} =$ （）

A、 $2^{n + 5} - 48$ B、 $2^{n + 4} - 16$ C、 $\frac{4^{n + 1} + 32}{3}$ D、 $\frac{2 \cdot 4^{n + 2} - 60}{3}$

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11. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边．已知 $b \sin B + c sin C - a \sin A = \frac{3}{2} c \sin B$ ，且 $b + 2 c = \frac{32}{3} cos A$ ，当 $a$ 取得最小值时， $c =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、3

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且对任意实数x都有 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} - 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{2} - x e^{x}$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 已知 $p ： x^{2} - 2 a x + a^{2} < 4$ ， $q ： \log_{2} (x + 1) < 3$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 给出下列命题：
①函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 2}$ 的最小值是0；

②“若 $x^{2} = 4$ ，则 $x = 2$ ”的否命题；

③若 $b^{2} = a c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列；

④在 $△ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $B C > A C$ .

其中所有真命题的序号是.

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16. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ，过点F的直线l与抛物线C交于A ， B两点.点D为 $O A$ 的中点，B ， D在y轴上的投影分别为P ， Q ，则 $| P Q |$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 已知 $p$ ： $- 2 < x + 1 < 5$ ． $q$ ： $x^{2} + 4 x - 5 > 0$ .

(1)、若 $\neg q$ 是真命题，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 是真命题， $p \land q$ 是假命题，求 $x$ 的取值范围.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， \frac{3 a_{n}}{2} ， 2 S_{n}$ 成等差数列.

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点.

(1)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求弦长 $| A B |$ ；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为2， $O$ 为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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20. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $(a + 2 b) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = a (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + 2 b (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ .

(1)、若 $a = 4$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、证明： $\tan C = \frac{\sin A + 2 \sin B}{\cos A + 2 \cos B}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - a \ln x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在定义域内单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $M (0 ， m) (m > 1)$ ，经过点 $M$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若原点到直线 $l$ 的距离为 $1$ ，且 $\vec{M A} = \vec{A B}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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