河南省洛阳市2020-2021学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 5 x \geq 4$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 5 x \leq 4$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 5 x_{0} \leq 4$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 5 x < 4$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 5 x_{0} < 4$

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2. 设 $M = 2 a (a - 2)$ ， $N = (a + 1) (a - 3)$ ，则 $M$ ， $N$ 的大小关系为（）

A、 $M \leq N$ B、 $M > N$ C、 $M < N$ D、无法确定

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3. 过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点与右焦点的直线方程为 $2 x + 3 y - 6 = 0$ ，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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4. 已知非零实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a > b > c$ ，则（）

A、 $a - b > b - c$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ C、 $a + b > 2 c$ D、 $a b > a c$

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5. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 2 ， \\ y \leq 2 ， \\ x + y - 3 \geq 0 \end{array}$ . $z = y - x$ ，则 $z_{\max} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 命题“若 $m > 4$ ，则方程， $\frac{x^{2}}{m - 1} - \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示双曲线”与它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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7. 已知单调递增的等比数列 ${a_{n}}$ ， $2 a_{2} + a_{4} = 12$ ， $a_{3} = 4$ ，则数列 ${\log_{2} a_{n}}$ 的前9项和 $S_{9} =$ （）

A、14 B、28 C、36 D、72

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8. 已知平面内一动点 $M$ 与 $A (- 3 ， 0)$ 和 $B (3 ， 0)$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{9}$ ，当 $∠ A M B$ 取最大值时， $\cos ∠ A M B =$ （）

A、 $- \frac{5}{13}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{12}{13}$ D、0

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9. 如果 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a b = 9$ ，那么 $\log_{3} a \cdot \log_{3} \sqrt{b}$ （）

A、有最小值 $\frac{1}{2}$ B、有最小值1 C、有最大值 $\frac{1}{2}$ D、有最大值1

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 两点分别作准线的垂线交于点 $M$ ， $N$ ，则 $\vec{M F} \cdot \vec{N F} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、0

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11. 若函数 $f (x) = \sin x + a \cos x$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， 1)$

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ $C_{1} ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的左，右的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 20$ .过点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交圆 $C_{2}$ 于点 $M$ ， $N$ ，若线段 $F_{2} M$ ， $F_{2} N$ 分别交椭圆于点 $P$ ， $Q$ ，当 $F_{2} P ⊥ F_{1} F_{2}$ ，时，四边形 $F_{1} Q F_{2} P$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

13. 已知数列 ${\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{8} =$ .

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14. 若 $p ： m - 1 \leq x \leq 2 m + 1$ ， $q ： 2 \leq x \leq 3$ ， $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为.

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16. 当直线 $y = k x + m$ 与曲线 $y = \ln x - 1$ 的图象相切时， $\frac{m}{k}$ 的最小值为.

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三、解答题

17.

(1)、设函数 $f (x) = 1 - e^{x}$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，求曲线在点 $A$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 的极值.

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18. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} + a_{4} = - 1$ ， $S_{10} = 25$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \sin A + \sqrt{3} a \cos B = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 5$ ， $b - a = 4$ ，求 $a$ ， $b$ .

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20. 如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设 $A D = x$ .（公共通道DE所占面积忽略不计）

(1)、令 $A E = y$ ，求y关于x的函数关系式并写出定义域；

(2)、若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.

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21. 已知抛物线顶点在坐标原点，准线方程为 $x = - 1$ .

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、设 $A$ ， $B$ 为抛物线上两点，直线 $y = 2$ 与抛物线、直线 $A B$ 分别交于点 $M$ ， $N$ .若 $N$ 为 $A B$ 的中点，且 $M A ⊥ M B$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x}$ ( $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数).

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq - 1$ ， $f (x) \leq 3 - 2 a - x^{2}$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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