河南省洛阳市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $2^{x} + \frac{1}{2^{x}} \geq 2$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} + \frac{1}{2^{x_{0}}} \leq 2$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} + \frac{1}{2^{x_{0}}} \geq 2$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} + \frac{1}{2^{x_{0}}} < 2$ D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} + \frac{1}{2^{x}} \leq 2$

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2. 设 $M = 2 a (a - 2)$ ， $N = (a + 1) (a - 3)$ ，则 $M$ ， $N$ 的大小关系为（）

A、 $M \leq N$ B、 $M > N$ C、 $M < N$ D、无法确定

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3. 已知双曲线 $C$ 与抛物线 $x^{2} = 8 y$ 有共同的焦点 $F$ ，且点 $F$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离等于1，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{5} - x^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

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4. 已知非零实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a > b > c$ ，则（）

A、 $a - b > b - c$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ C、 $a + b > 2 c$ D、 $a b > a c$

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5. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 的中心，Q为侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 的中心，则直线PB与 $Q A_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x ⩽ 2 ， \\ y ⩽ 2 ， \\ x + y - 3 \geq 0. \end{array}$ $z = y - x$ ，则 $z_{\max} + z_{nin} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{3} = 5 a_{2}$ ， $S_{10} = 100$ ，则公差 $d =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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8. 已知 $p ： - 2 \leq x - y \leq 2$ 且 $- 2 \leq x + y \leq 2$ ， $q ： x^{2} + y^{2} \leq 2$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 如果 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a b = 9$ ，那么 $\log_{3} a \cdot \log_{3} \sqrt{b}$ （）

A、有最小值 $\frac{1}{2}$ B、有最小值1 C、有最大值 $\frac{1}{2}$ D、有最大值1

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10. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n + 1} (a_{n} + 2)}{a_{n}} = 2$ ，则满足 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1} > \frac{2021}{1009}$ 的最小正整数 $n$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $e$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $△ F_{1} M N$ 是以 $M$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则 $e =$ （）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6} - 2$ D、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，若 $2 \sin^{2} A + \cos B = 1$ ，则 $\frac{A B}{B C \cos A} + \frac{8 B C}{A C}$ 的取值范围为（）

A、 $[4 \sqrt{3} ， 8)$ B、 $[4 \sqrt{3} ， 7)$ C、 $(7 ， 8)$ D、 $(0 ， 4 \sqrt{3})$

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二、填空题

13. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $\sin^{2} A - \sin^{2} B > \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 为三角形（填锐角、钝角、直角）.

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14. 已知单调递增的等比数列 ${a_{n}}$ ， $2 a_{2} + a_{4} = 12$ ， $a_{3} = 4$ ，则数列 ${\log_{2} a_{n}}$ 的前9项和 $S_{9} =$ .

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15. 已知四个命题：
①“若 $a + b \geq 2$ ，则 $a$ ， $b$ 中至少有一个不小于1”的逆命题；

② $△ A B C$ 中， $A < B$ 是 $\sin A < \sin B$ 的充分必要条件；

③“若空间两条直线不相交，则这两条直线平行”的逆否命题；

④若直线 $l \subset$ 平面 $α$ ，直线 $m ⊥$ 平面 $α$ ，则 $m ⊥ l$ .

则上述命题中所有真命题的序号是.

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16. 定长为4的线段 $A B$ 的两个端点在抛物线 $y^{2} = x$ 上移动，设 $A B$ 的中点为 $M$ ，则点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离为.

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三、解答题

17. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $\sin A \cos B = \sin B (2 - \cos A)$

(1)、求证： $c = 2 b$ ；

(2)、若 $b + c = \sqrt{3} a$ ，求 $A$ .

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18. 已知 $p ：$ 函数 $y = (m - 2) x + 1$ 在 $R$ 上单调递增； $q ： \forall x \in R$ ， $x^{2} - (m + 1) x + m^{2} + m \geq 0$ .若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求 $m$ 的取值范围.

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19. 如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设 $A D = x$ .（公共通道DE所占面积忽略不计）

(1)、令 $A E = y$ ，求y关于x的函数关系式并写出定义域；

(2)、若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.

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20. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $△ A C D$ 是边长为1的等边三角形.

(1)、证明： $A C ⊥ A_{1} B$ ；

(2)、若 $B C = \sqrt{3}$ ，求二面角 $B - C_{1} D - B_{1}$ 的大小.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = a_{n + 1} - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n}}{n} = \frac{b_{n - 1}}{n - 1} (n ⩾ 2)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并求使得 $T_{n} ⩾ \frac{1}{6} (m^{2} - 5 m)$ 恒成立的最大正整数 $m$ 的值.

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22. 已知点 $A (- \sqrt{2} ， 0)$ ， $B (\sqrt{2} ， 0)$ 动点 $M (x ， y)$ 满足直线AM，BM的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求动点 $M (x ， y)$ 的轨迹方程 $C$ ，并说明 $C$ 是什么曲线；

(2)、已知点 $F (1 ， 0)$ ， $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，直线 $l$ 与过原点和 $P$ 点的直线 $m$ 平行且与曲线 $C$ 相交于两点 $M$ ， $N$ （ $M$ ， $N$ 位于直线 $P F$ 的两侧），求证： $∠ M P F = ∠ N P F$ .

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