河北省张家口市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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2. 关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - a y + 1 = 0 \\ x + 2 y - 1 = 0 \end{array}$ ，没有实数解，则实数a的值是（）

A、4 B、2 C、-4 D、-2

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3. 点 $P (\frac{5}{2} ， - 2)$ 到直线 $y = 2 x - 2$ 的距离为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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4. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 9 = 0$ 的位置关系是（）

A、外切 B、内切 C、相交 D、外离

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5. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $4 a + b = 4 \sqrt{a b}$ ”是“ $a = 1$ ， $b = 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ 2 x + y - 6 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、4 B、2 C、1 D、-1

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7. 在三棱锥 $O - A B C$ 中，M是 $O A$ 的中点，P是 $△ A B C$ 的重心．设 $\vec{a} = \vec{O A}$ ， $\vec{b} = \vec{O B}$ ， $\vec{c} = \vec{O C}$ ，则 $\vec{M P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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8. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，右顶点为A，以 $O A$ 为直径的圆交直线 $y = \frac{c}{b} x$ 于点B（不同于原点O），设 $△ O B F$ 的面积为S．若 $S = \vec{A B} \cdot \vec{A F}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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二、多选题

9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，下列对双曲线C判断正确的是（）

A、实轴长是虚轴长的2倍 B、焦距为4 C、离心率为 $\sqrt{3}$ D、渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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10. 已知直线l过点 $P (- 2 ， 4)$ ，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $2 x + y = 0$ D、 $x = - 2$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E是线段 $C D_{1}$ 上的动点，则下列判断正确的是（）

A、当点E与点 $D_{1}$ 重合时， $B_{1} E ⊥ A C$ B、当点E与线段 $C D_{1}$ 的中点重合时， $B_{1} E$ 与 $A C_{1}$ 异面 C、无论点E在线段 $C D_{1}$ 的什么位置，都有 $A C_{1} ⊥ B_{1} E$ D、若异面直线 $B_{1} E$ 与 $A D$ 所成的角为θ，则 $c o s θ$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段 $P F$ 与抛物线交于点M．下列判断正确的是（）

A、 $△ O M F$ 不可能是等边三角形 B、 $△ O M F$ 可能是等腰直角三角形 C、 $\frac{| P F |}{| P M |} = 1 + \frac{2}{| P F |}$ D、 $\frac{| P F |}{| M F |} - | P F | = 1$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + 1 > 0$ “的否定是（写出命题的否定形式）．

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14. 点 $(0 ， - 2)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 2} = 1$ 的一个焦点，则实数m的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则 $△ A B C$ 的外接圆E的方程是．

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16. 已知点P是直线 $l ： y = x + m (m > 0)$ 上一点，过点P作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线 $A B$ 的距离的最大值为 $\sqrt{2}$ ，则实数m= ．

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四、解答题

17. 已知命题p： $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + a^{2} = 0$ ，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．

(1)、求集合A；

(2)、设集合 $B = {a | 2 m - 3 \leq a \leq m + 1}$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，底面 $A B C$ 是等腰直角三角形，且 $A B = A C = A A_{1} = 2$ ，点E，F分别是边 $A_{1} B_{1}$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - B$ 的余弦值．

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19. 已知双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| \vec{F_{1} F_{2}} | = 4$ ，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且 $| \vec{O P} | = 2$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $P (\frac{1}{2} ， \sqrt{2})$ ．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、经过点 $A (- 1 ， 0)$ 的直线l与抛物线C相切于点B（点B在第一象限），O是坐标原点，圆O与直线l相切于点E，设 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ，求实数λ的值．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P B = \sqrt{6}$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率e是方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的一根．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知O是坐标原点，斜率为k的直线l经过点 $M (0 ， 1)$ ，已知直线l与椭圆C相交于点A，B，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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