河北省迁安市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 倾斜角为135º，在 $y$ 轴上的截距为-1的直线方程是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上的点 $P$ 到 $(5 ， 0)$ 的距离为15，则点 $P$ 到点 $(- 5 ， 0)$ 的距离为（）

A、7 B、23 C、5或25 D、7或23

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3. “ $m = 2$ ”是“直线 $l_{1} ： m x + 4 y - 6 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + m y - 3 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若抛物线 $y = a x^{2}$ 的焦点坐标为 $(0 ， 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、8 D、4

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5. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同平面， $m$ ， $n$ 是两不同直线，下列命题中不正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / α$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0$ ，则过点 $P (1 ， 2)$ 的最短弦所在直线 $l$ 的方程是（）

A、 $3 x + 2 y - 7 = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $x - 2 y - 3 = 0$ D、 $x - 2 y + 3 = 0$

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7. 已知圆 $M$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 36$ ，定点 $N (2 ， 0)$ ， $A$ 是圆 $M$ 上的一动点，线段 $A N$ 的垂直平分线交 $M A$ 于点 $P$ ，则 $P$ 点的轨迹 $C$ 的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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8. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，若 $| \overset{⇀}{B F_{2}} | + | \overset{⇀}{A F_{2}} |$ 的最大值为5，则 $b$ 的值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 设F为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 交于P，Q两点.若 $| P Q | = | O F |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

10. 一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（）

A、 $A B ⊥ E F$ B、 $A B$ 与 $C M$ 所成的角为 $60 °$ C、 $M N / / C D$ D、 $E F$ 与 $M N$ 所成的角为 $60 °$

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11. 已知双曲线 $E$ 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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12. 如图 $A B$ 为圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在圆周上（异于 $A$ ， $B$ 点），直线 $P A$ 垂直于圆所在的平面，点 $M$ 为线段 $P B$ 的中点，则以下四个命题正确的是（）

A、 $P B ⊥ A C$ B、 $O C ⊥$ 平面 $P A B$ C、 $M O / /$ 平面 $P A C$ D、平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$

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13. 已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{8} ， 0)$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{16}$ C、若 $\vec{M F} = λ \vec{N F}$ ，则 $| M N |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、若 $| M F | + | N F | = \frac{3}{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{5}{8}$

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三、填空题

14. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x² +y²- 4y= 0所截得的弦长为.

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15. 设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是．

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16. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是 $\frac{32}{3} π$ ，那么这个三棱柱的体积是.

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四、解答题

17. 求经过两直线 $l_{1} : x - 2 y + 4 = 0$ 和 $l_{2} : x + y - 2 = 0$ 的交点 $P$ ，且与直线 $l_{3} : 3 x - 4 y + 5 = 0$ 垂直的直线 $l$ 的方程．

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18. 已知圆C的圆心为(1，1)，直线 $x + y - 4 = 0$ 与圆C相切.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.

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19. 如图在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A_{1} B_{1} ⊥ B C ， B C = 1 ， A A_{1} = A C = 2 ， E$ 、 $F$ 分别为 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} F / /$ 平面 $E A B$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B C E$ 的体积.

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20. 如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在 $x$ 轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1. 过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足 $k_{A D} \cdot k_{A E} = 2.$

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A B$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为菱形，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 为 $P D$ 上一点，满足 $\vec{P E} = \frac{1}{2} \vec{E D}$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 $\frac{1}{2}$ (O为坐标原点).

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|＋|PM|为定值.

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