河北省沧州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 2 ⩽ 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 2 > 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} - 3 x + 2 ⩽ 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 2 ⩾ 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - 3 x + 2 > 0$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $1 + i = z i$ ，则其共轭复数为（）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $\frac{a}{b} = 0$ ”是“复数 $a + b i$ 为纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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5. 某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒. 若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为60的样本，则样本中乙类奶制品的数量为（）

A、6盒 B、15盒 C、20盒 D、24盒

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6. 某位居民在银行换取了五张连号的人民币，编号的尾号分别为71，72，73，74，75，他随机抽取三张作为儿子的压岁钱，则这三张人民币的尾号相连的概率为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 已知点 $F (1 ， 0)$ ，过直线 $x = - 1$ 上一动点P作与y轴垂直的直线，与线段 $P F$ 的中垂线交于点Q，则Q点的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - y^{2} = 1$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = 4 x$

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8. 设函数 $f (x)$ 是定义在R上的函数， $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $f' (x) > f (x)$ 且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x) ⩽ 0$ 的解集是（）

A、 $(\begin{array}{l} - \infty ， 1 \end{array}]$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = 2 - i ， z_{2} = 2 i$ 则（）

A、 $z_{2}$ 是纯虚数 B、 $z_{1} - z {}_{2}$ 对应的点位于第二象限 C、 $| z_{1} + z_{2} | = 3$ D、 $| z_{1} z_{2} | = 2 \sqrt{5}$

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10. 某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如下，根据该折线图，下列结论正确的是（）

A、上半年的月销售量逐月增加 B、与前一个月相比，销售量增加最多的是11月 C、全年的平均月销售量为2.9百万台 D、四个季度中，第三个季度的月销售量波动最小

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{12 - m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1 (8 < m < 12)$ 的焦距为4，则（）

A、椭圆C的焦点在x轴上 B、椭圆C的长轴长是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍 C、椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = A D = \sqrt{3}$ ， $E$ 是侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心， $F$ 是底面 $A B C D$ 的中心，以 $A$ 为坐标原点， $A B$ ， $A D$ ， $A A_{1}$ 所在直线分别为 $x ， y ， z$ 轴建立空间直角坐标系，则（）

A、 $\vec{E F}$ 是单位向量 B、 $\vec{n} = (1 ， 0 ， \sqrt{3})$ 是平面 $A_{1} B C$ 的一个法向量 C、直线 $E F$ 与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、点 $E$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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三、填空题

13. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到其准线的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则该抛物线的方程为．

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14. 函数 $f (x) = 2 x^{3} - x - 1$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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15. 一组样本数据 $x$ ，4，5，6， $y$ 的平均数为 $5$ ，标准差为4，则 $x^{2} + y^{2} =$ .

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16. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，若双曲线上存在一点M，使得 $△ M F_{1} F_{2}$ 是等腰三角形也是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 为了方便市民出行，某城市推出共享电动单车租赁服务，收费标准是：骑行时间不超过30分钟收费3元，超过30分钟的部分每30分钟收费2元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．甲、乙两人租用电动单车出行，由于城市区域限制，他们使用电动单车的时间都不超过2小时．
（Ⅰ）若甲骑行时间不超过30分钟的概率为 $\frac{1}{3}$ ，超过1小时的概率为 $\frac{1}{4}$ ，求甲租车费用恰好为5元的概率；

（Ⅱ）若每人的骑行时间为2小时以内的任意时长的可能性相同，求甲、乙两人租车费用之和为10元的概率．

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18. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P$ ， $A B$ ， $A C$ 两两互相垂直， $A B = 2 A C = 2 A P$ ， $A D ⊥ P B$ .

（Ⅰ）证明： $C D ⊥ P B$ ；

（Ⅱ）求直线 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + c$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值为2，求实数 $c$ 的值.

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20. 某机构为了研究中学生的视力与体育活动的关系，随机调查了几名中学生，得到了他们每周体育活动的时间（单位：

h

）和视力的一组数据：

每周体育活动时间 $x$	2	4	6	8	10
视力 $y$	4.0	4.2	4.6	5.0	5.2

（Ⅰ）根据以上数据，在下面的坐标系中画出散点图；

（Ⅱ）用最小二乘法求 $y$ 与 $x$ 之间的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x (a \in R)$ ．
（Ⅰ）当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $(0 ， e^{2})$ 上有两个不同的零点，求a的取值范围．

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22. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ .已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $| A B | = \sqrt{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线 $l ： y = k x (k > 0)$ 与椭圆交于 $P ， Q$ 两点， $l$ 与直线 $A B$ 交于点 $M$ ，且点 $P ， M$ 均在第一象限，若 $\frac{S_{△ B M P}}{S_{△ B P Q}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （ $S$ 表示面积），求 $k$ 的值.

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