河北省保定市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ ，则z的共轭复数是（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， a x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， a x^{2} + 2 x + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R ， a x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， a x^{2} + 2 x + 1 > 0$ D、 $\forall x \notin R ， a x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$

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3. 某市2020年各月的平均气温 $(° C)$ 数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是（）

0

1

2

3

2 3

5 7 9

1 3 3 8 9

2 4

A、21 B、22 C、22.5 D、23

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为C右支上的点，且 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积等于（）

A、192 B、96 C、48 D、102

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5. 若直线 $x + y - a = 0$ 过圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的圆心，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点作倾斜角为45º的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，设O为坐标原点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 等于（）

A、-1 B、-2 C、 $- \frac{17}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{6} + \sin 2 x$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{4}) < f (- \frac{π}{6})$ B、 $f (- \frac{π}{6}) > f (1)$ C、 $f (\frac{π}{4}) < f (\frac{π}{6})$ D、 $f (- \frac{π}{3}) > f (\frac{π}{6})$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若函数 $y = x^{2} - 4 a x$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上单调递增，则 $a < \frac{1}{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ C、设函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为R，则“ $f (x) \cdot g (x)$ 为偶函数”是“ $f (x)$ 与 $g (x)$ 均为奇函数”的充要条件 D、函数 $f (x) = 3^{2 x} - 3^{x + 1} - 4$ 的零点为 $x = \log_{3} 4$

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10. 某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为 $\hat{y} = 6.3 x + 6.8$ ，下列说法正确的是（）

x

2

3

4

5

6

y

19

25

★

40

44

A、看不清的数据★的值为32 B、回归直线 $\hat{y} = 6.3 x + 6.8$ 恰好经过样本点 $(4 ， ★)$ C、回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D、据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨

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11. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 169$ ，直线 $l ： k x - y - 4 k + 5 = 0 ， k \in R$ ．则下列选项正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 B、直线 $l$ 与圆C的位置可能相交、相切和相离 C、直线 $l$ 被圆C截得的最短弦长为12 D、直线 $l$ 被圆C截得的最短弦长对应的k值为 $- \frac{3}{4}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别为 $B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、点 $D_{1}$ 在平面 $A E F$ 内 B、 $D_{1} D ⊥ A F$ C、 $A_{1} G / /$ 平面 $A E F$ D、异面直线 $A_{1} G$ 与 $E F$ 所成角的正切值为3

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三、填空题

13. 曲线y=xlnx+1在点（1，1）处的切线方程是．

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14. 若点 $P (t ， 1)$ 在抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上，且到其准线的距离为2，则 $t =$ ．

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 ， \\ e^{x} (x + 1) ， x \leq 0 ， \end{array}$ 若函数 $y = f (x) - b$ 有两个零点，则实数b的取值集合为．

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16. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，以 $F_{2}$ 为圆心， $| F_{1} F_{2} |$ 为半径的圆交双曲线右支于点 $A ， B$ ，若点 $F_{2}$ 恰好在 $∠ F_{1} A B$ 的平分线上，则C的离心率为．

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四、解答题

17.
①点 $A (a + 1 ， 0)$ 在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8 - m$ 的外部；

②方程： $\frac{x^{2}}{m - 4} - \frac{y^{2}}{m - 8} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆．

在这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．

问题：求实数 $m$ 的范围，使得命题 $p ：$ 函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - m x$ 存在单调递减区间；命题 $q ：$ ▲ ，都是真命题．

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18. 自2019年12月底，我国爆发新冠肺炎疫情以来，在我们团结一致，众志成城的努力下，疫情得以控制，但专家认为，目前全球疫情加速蔓延，我国面临境外输入病例导致本地传播风险增大，局部地区可能发生聚集性疫情，疫情防控一刻不能放松，某市为加强市民对新冠状病毒肺炎的知识了解，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组 $[20 ， 25)$ ，共5人，第2组 $[25 ， 30)$ ，共35人，第3组 $[30 ， 35)$ ，第4组 $[35 ， 40)$ ，第5组 $[40 ， 45]$ ，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)、求a的值；

(2)、若从第 $3 ， 4 ， 5$ 组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，且该市决定在第 $3 ， 4$ 组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．

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19. 已知函数 $f (x) = a x - \ln x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围．

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20. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B // D C ， A B ⊥ B C ， A B = 2 D C = 2 B C = 4 ， E$ 为 $A B$ 中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，使得点 $A$ 到点 $P$ 的位置， $P B = 2 \sqrt{2}$ ，设 $F$ 为 $P B$ 的中点，G是 $B C$ 上的动点（与点 $B ， C$ 不重合）．

(1)、证明：平面 $E F G ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、是否存在点G，使得二面角 $B - E G - F$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，确定G点的位置，若不存在，说明理由．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2} ， P$ 是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的上顶点，Q为 $P A$ 的中点，且直线 $P A$ 与直线 $O Q$ 的斜率之积恒为-2．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若斜率为k且过上焦点F的直线 $l$ 与椭圆C相交于 $M ， N$ 两点，当点 $M ， N$ 到y轴距离之和最大时，求直线 $l$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = x (\ln x - a) ， g (x) = - x^{2} - 2$ ．

(1)、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1] (t > 0)$ 的最小值；

(3)、证明：当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $\ln x - 1 \geq \frac{1}{e^{x - 1}} - \frac{2}{x}$ ．

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x	2	3	4	5	6
y	19	25	★	40	44