黑龙江省哈尔滨市宾县一高2021-2022学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-10-22 类型：月考试卷

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一、选择题（每题5分）

1. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B ， E$ 为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线 $B E$ 与 $C D_{1}$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， A D = 3 ， A A_{1} = 5 ，$ 且 $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{o}$ ，求 $A_{1} C$ 的长（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{85}$ D、 $\sqrt{97}$

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3. 过直线 $x + y - 3 = 0$ 和 $2 x - y = 0$ 的交点，且与 $2 x + y - 5 = 0$ 垂直的直线方程是（）

A、 $4 x + 2 y - 3 = 0$ B、 $4 x - 2 y + 3 = 0$ C、 $x + 2 y - 3 = 0$ D、 $x - 2 y + 3 = 0$

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4. 设 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (1 ， 1)$ ，若直线 $l ： a x + y + 1 = 0$ 与线段AB有交点，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2] \cup [\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{2} ， 2]$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， \frac{3}{2}]$

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5. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 底面ABC， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = 4$ ， $∠ P B C = 60^{°}$ ，则点C到平面PAB的距离是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{42}}{7}$ B、 $\frac{4 \sqrt{42}}{7}$ C、 $\frac{5 \sqrt{42}}{7}$ D、 $\frac{6 \sqrt{42}}{7}$

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6. 已知四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $∠ B C A = 30^{°}$ ， $A C = 20$ ，若 $P A ⊥$ 平面ABCD，且 $P A = 5$ ，则点P到直线BC的距离为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{5}$ D、5

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7. 已知函数 $y = \log_{a} (x - 1) + 2$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）恒过定点A.若直线 $m x + n y = 2$ 过点A，其中m、n是正实数，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是（）

A、 $3 + \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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8. 若直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = 3 - \sqrt{4 x - x^{2}}$ 有公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ B、 $[1 - \sqrt{2} ， 3]$ C、 $[1 - 2 \sqrt{2} ， 3]$ D、 $[- 1 ， 1 + \sqrt{2}]$

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9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O是AC的中点，点P在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若直线OP与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{6}}{3} ， \frac{\sqrt{7}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{3}]$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 和 $B$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的两点，且 $A B = \sqrt{2}$ ，点 $P (2 ， 1)$ ，则 $| 2 \vec{P A} - \vec{P B} |$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $[\sqrt{5} - \sqrt{2} ， \sqrt{5} + \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{5} - 1 ， \sqrt{5} + 1]$ C、 $[6 - 2 \sqrt{5} ， 6 + 2 \sqrt{5}]$ D、 $[7 - 2 \sqrt{10} ， 7 + 2 \sqrt{10}]$

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11. 下列结论不正确的是（）

A、若直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的斜率相等，则 $l_{1} / / l_{2}$ B、经过点 $(2 ， 2)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 4 = 0$ C、直线 $x \cos α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ D、“ $a = - 2$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - 2 a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件

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12. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若 $Δ A B C$ 满足 $A C = B C$ ，顶点 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切，则下列结论正确的是（）

A、圆 $M$ 上的点到原点的最大距离为 $3 + \sqrt{2}$ B、圆 $M$ 上存在三个点到直线 $x - y - 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、若点 $(x ， y)$ 在圆 $M$ 上，则 $\frac{y}{x + 1}$ 的最小值是 $- \sqrt{2}$ D、若圆 $M$ 与圆 $x^{2} + {(y - a)}^{2} = 2$ 有公共点，则 $a \in [- 3$ ， $3]$

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二、填空题（每题5分）

13. 若直线 $l_{1} ： 2 x + m y + 3 = 0$ 与 $l_{2} ： 2 x + (2 - m) y - 2 = 0$ 互相平行，则 $m$ 的值为；

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14. 若过点 $P (1 - a ， 1 + a)$ 与 $Q (4 ， 2 a)$ 的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围

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15. 过点 $P (3 ， 4)$ 作圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别是A，B，则直线AB的方程为.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $B C // A D$ ，已知 $Q$ 是四边形 $A B C D$ 内部一点，且二面角 $Q - P D - A$ 的平面角大小为 $\frac{π}{4}$ ，则 $△ A D Q$ 的面积的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知直线l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)．

(1)、若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)、当O(0，0)点到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

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18. 已知圆C过 $A (- 2 ， 2) ， B (2 ， 6)$ 两点，且圆心C在直线 $3 x + y = 0$ 上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线 $3 x - 4 y + 20 = 0$ 与圆C相交于M，N两点，求弦 $M N$ 的长度．

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19. 如图，在多面体ABCDE中， $A E ⊥$ 平面ABC，点D到平面ABC的距离为2， $Δ A B C$ 是正三角形， $B D = C D = \sqrt{5}$ ， $A E = A B = 2$ .

(1)、证明： $B C ⊥ D E$ ；

(2)、求直线CE与平面BED所成角的正弦值.

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ D A B = ∠ C D A = 90^{\circ}$ ， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C D = 2 A B$ ，点 $E$ 为 $S C$ 的中点.

(1)、求证： $B E //$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $S A = A D = 2$ ，且平面 $S B C$ 与平面 $S A D$ 所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求四棱锥 $S - A B C D$ 的体积.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $P A = A D = 2$ ， $A C = 1$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求平面 $P A C$ 与平面 $P C D$ 夹角的正弦值；

(3)、设 $E$ 为棱 $P A$ 上的点，满足异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求 $A E$ 的长．

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22. 在平面直角坐标系中，已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 m x + (10 - 2 m) y + 10 m - 29 = 0$ ，平面内两定点 $E (1 ， 0)$ ， $G (6 ， \frac{3}{2})$ 当圆C的半径取最小值时：

(1)、求出此时 $m$ 的值，并写出圆C的标准方程.

(2)、在 $x$ 轴上是否存在异于点 $E$ 的另外一个点 $F$ ，使得对于圆C上任意一点 $P$ ，总有 $\frac{| P E |}{| P F |}$ 为定值?若存在，求出点 $F$ 的坐标，若不存在，请说明你的理由；

(3)、在第2问的条件下，求 $μ = \frac{4 {| P G |}^{2} - {| P E |}^{2} - 4 | P E |}{2 | P G | - | P E | - 2} - 2 | P E |$ 的取值范围。

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