广西贵港市2020-2021学年度高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知平面 $α ， β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = (- 2 ， x ， 1) ， \vec{b} = (x ， 1 ， 4) ，$ 且 $α ⊥ β ，$ 则 $x =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、-4 C、4 D、8

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2. 设一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的方差为 $5 ，$ 则数据 $2 x_{1} ， 2 x_{2} ， \dots ， 2 x_{n}$ 的方差为（）

A、2.5 B、5 C、10 D、20

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3. 2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”.由中国互联网络信息中心( $CNNIC$ )第45次《中国互联网络发展状况统计报告》数据得到如图所示的统计图.2020年12月我国网络直播用户规模达5.60亿，占整体手机网民的62.0%.

根据以上信息，下列说法不正确的是（）

A、2018-2020年我国网络直播用户一直保持增长态势 B、2020年我国手机网民未超过9亿 C、2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿 D、2016-2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致

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4. 现有下列命题：
①若 $x + y = 0 ，$ 则 $| x - y | = x - y ；$ ②若 $a > b ，$ 则 $a - c > b - c ；$ ③命题“ $\exists x \in [0 ， + \infty) ， 2^{x} + x ⩾ 1$ “的否定是” $\forall x \in [0 ， + \infty) ， 2^{x} + x ⩽ 1$ ".其中真命题共有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 有一条渐近线与直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 平行，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 若某商场的会员只用现金支付的概率为 $\frac{1}{4}$ ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 $\frac{1}{2} ，$ 则只用非现金支付的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $D_{1} B$ 上一点，且 $B P = 2 D_{1} P$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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8. 执行如图所示的程序框图，输出的点都在函数（）

A、 $y = | 2 x - 5 | - 2$ 的图象上 B、 $y = | 2 x - 3 | - 2$ 的图象上 C、 $y = \cos (π x)$ 的图象上 D、 $y = 2 \sin (π x)$ 的图象上

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9. 已知 $m \in R ，$ 则“ $\exists x \in [1 ， 3] ， m x - 18 < 0$ ”是“ $m ⩽ 2$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 在某球内随机放人 $n$ 个点，恰有 $m$ 个点落人该球的内接正方体内，则 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} m}{2 n}$ B、 $\frac{\sqrt{3} n}{2 m}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} m}{3 n}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} n}{3 m}$

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11. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左､右焦点，O为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上且 $| O P | = 3$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、8 C、7 D、16

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12. 如图，已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 8 x$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，过圆心 $C_{2}$ 的直线 $l$ 与抛物线和圆依次交于点 $P$ ， $M$ ， $N$ ， $Q$ ，则 $| P M | \cdot | Q N | =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

13. 某班有男生40人，女生30人，现用分层抽样的方法从中抽取14人参加一项活动，则抽取的男生的人数为.

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14. 如图所示的程序的输出结果是.

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15. 已知 $O$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的球心， $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $D_{1} O$ 所成角的余弦值为.

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16. 过双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点 $F$ 作圆 $C$ ： $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{1}{2}$ 的切线，此切线与 $M$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ .

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三、解答题

17. 石漠化，是指因水土流失而导致地表土壤损失，基岩裸露，土地丧失农业利用价值和生态环境退化的现象，某地区实施植树造林，不断强化荒漠化地区生态保护和修复，全力推进石漠化综合治理，从

2016 ~ 2020

年该地区每年植树造林面积的数据如下表所示.

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
$y$ （亩）	0.5	0.6	0.7	0.8	1

附：线性回归方程 $\hat{y} = a + b x$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $s_{x y} = \frac{x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}}{n} - \bar{x y}$ ， $s_{x}^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}$ ， $b = \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .

(1)、求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、试问到2021年该地区植树造林的总面积能否超过4.6亩？

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B = \frac{\sqrt{2}}{2} P B$ ，点 $E$ 是 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(2)、已知点 $F$ 是边 $B C$ 上靠近 $B$ 点的三等分点，求平面 $P A C$ 与平面 $A E F$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组 $[25 ， 35)$ ，第2组 $[35 ， 45)$ ，第3组 $[45 ， 55)$ ，第4组 $[55 ， 65]$ ，如图所示，已知区间 $[25 ， 35)$ ， $[35 ， 45)$ ， $[45 ， 55)$ ， $[55 ， 65]$ 上的频率依次成等差数列．

(1)、分别求出区间 $[25 ， 35)$ ， $[35 ， 45)$ ， $[45 ， 55)$ 上的频率；

(2)、现从年龄在 $[35 ， 45)$ 及 $[45 ， 55)$ 的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选3人作为生态文明建设知识宣讲员，用 $x$ 表示抽到作为宣讲员的年龄在 $[35 ， 45)$ 的人数， $y$ 表示抽到作为宣讲员的年龄在 $[45 ， 55)$ 的人数，求满足 $x - y > 0$ 的概率．

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20. 已知 $p ： \frac{x^{2}}{3 m - 4} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示双曲线 $， q ：$ 对任意 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，不等式 ${log}_{\frac{1}{2}} x - x > 1 - m$ 恒成立.

(1)、若 $q$ 为真，求实数 $m$ 的取值范围

(2)、若 $p \lor q$ 为真，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 设 $A ， B$ 为曲线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上两点， $A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 $4.$

(1)、若 $A$ 与 $B$ 的纵坐标之和为 $4 ，$ 求直线 $A B$ 的方程.

(2)、证明：线段 $A B$ 的垂直平分线过定点.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且焦距为8．

(1)、求C的方程；

(2)、设直线l的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，且与C交于A ， B两点，求 $△ A O B$ （O为坐标原点）面积的最大值．

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