广东省中山市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $0 < x < 1$ ， $0 < y < 1$ ，记 $M = x y ， N = x + y - 1$ ，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系是（）

A、 $M < N$ B、 $M > N$ C、 $M = N$ D、 $M$ 与 $N$ 的大小关系不确定

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2. 在△ABC中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 45^{°}$ ， $B = 60^{°}$ ，则 $b$ =（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2 $\sqrt{3}$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 15$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ （）

A、6 B、10 C、7 D、5

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4. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 $\frac{3}{2}$ ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 $\frac{3}{4}$ ，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（）

A、“宫、商、角”的频率成等比数列 B、“宫、徵、商”的频率成等比数列 C、“商、羽、角”的频率成等比数列 D、“徵、商、羽”的频率成等比数列

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5. 已知双曲线的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，且经过点 $(2 ， 2 \sqrt{5})$ ，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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6. 测量河对岸某一高层建筑物 $A B$ 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 和 $D$ ，如图，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 30 m$ ，并在 $C$ 处测得建筑物顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，则建筑物 $A B$ 的高度为（）

A、 $30 \sqrt{6} m$ B、 $15 \sqrt{6} m$ C、 $5 \sqrt{6} m$ D、 $15 \sqrt{2} m$

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7. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 是 $B B_{1}$ 的中点，则 $A D$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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8. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{e}$ 满足： $| \vec{b} | = | \vec{e} | = 1$ ， $\vec{b} \cdot \vec{e} = 0$ ， $| \vec{a} + \vec{e} | + | \vec{a} - \vec{e} | = 4$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{e} |$ 的最小值为（）

A、 $4 - \sqrt{2}$ B、 $4 + \sqrt{2}$ C、 $5 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $5 + \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 ， - 4) ， \vec{b} = (6 ， - 3 ， 2)$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10 ， - 5 ， - 2)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2 ， - 1 ， 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ D、 $| \vec{a} | = 6$

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10. 下列不等式中可以作为 $x^{2} < 1$ 的一个充分不必要条件的有（）

A、 $x < 1$ B、 $0 < x < 1$ C、 $- 1 < x < 0$ D、 $- 1 < x < 1$

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11. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和，且 $S_{5} < S_{6}$ ， $S_{6} = S_{7} > S_{8}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $d < 0$ B、 $S_{6}$ 与 $S_{7}$ 是 $S_{n}$ 的最大值 C、 $S_{9} > S_{5}$ D、 $a_{7} = 0$

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12. 下列函数中，最小值为 $2 \sqrt{2}$ 的有（）

A、 $y = x + \frac{2}{x} (x > 0)$ B、 $y = \sin x + \frac{2}{\sin x} (0 < x < π)$ C、 $y = e^{x} + 2 e^{- x}$ D、 $y = \log_{2} x + 2 \log_{x} 2$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 4 \leq 0$ ”的否定为．

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14. 抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的准线方程是.

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15. 已知关于 $x$ 的不等式 $(m x - m^{2} - 6) (x + 4) < 0$ （其中 $m \in R$ ）的解集为 $A$ ，若满足 $A \cap Z = B$ （其中 $Z$ 为整数集），则使得集合 $B$ 中元素个数最少时 $m$ 取值范围是

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16. 把半椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 和圆弧： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = a^{2} (x < 0)$ 合成的曲线称为“曲圆”，其中点 $F (1 ， 0)$ 是半椭圆的右焦点， $A_{1} ， A_{2}$ 分别是“曲圆”与 $x$ 轴的左、右交点， $B_{1} ， B_{2}$ 分别是“曲圆”与 $y$ 轴的上、下交点，已知 $∠ B_{1} F B_{2} = 120^{0}$ ，过点 $F$ 的直线与“曲圆”交于 $P ， Q$ 两点，则半椭圆方程为（ $x \geq 0$ ）， $△ A_{1} P Q$ 的周长的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 12$ .
（Ⅰ）当 $m = 1$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

（Ⅱ）若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $R$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知点 $P (2, m)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点， $F$ 为抛物线的焦点，且 $| P F | = 4$ ，直线 $l$ ： $y = k (x - 2)$ 与抛物线 $C$ 相交于不同的两点 $A$ ， $B$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = 16$ ，求 $k$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ . ${b_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，如图________， $T_{n}$ 的图象经过 $A ， B$ 两个点.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .从图1，图2，图3中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(a + c) b = \frac{12}{5} a c$ .

(1)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，求 $\cos B$ 的值；

(2)、是否存在 $△ A B C$ 满足 $B$ 为直角？若存在，求 $\sin A$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 是等边三角形， $B C ⊥$ $A B$ ， $B C = C D = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = A D = 2$ .

(1)、若 $P B = 3 B E$ ，求证： $A E //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P C = 4$ ，求二面角 $A - P C - B$ 的正弦值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} a_{n - 1} + 2 a_{n} - a_{n - 1} = 0$ ， $(n \geq 2 ， n \in N)$ ， $a_{1} = 1$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 的数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ， $b_{n} = \frac{2 a_{n} - a_{n} a_{n - 1}}{1 - 2 a_{n} a_{n - 1}} (n \geq 2 ， n \in N)$ ，又 $c_{n} = \frac{S_{n - 1}}{b_{n}} (n \geq 2 ， n \in N)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $2 \leq (1 + \frac{1}{c_{2}}) (1 + \frac{1}{c_{3}}) \dots (1 + \frac{1}{c_{n}}) < \frac{8}{3} (n \geq 2 ， n \in N)$ .

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