广东省深圳市宝安区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，则“{a_n}是等差数列”是“ ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知E、F分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点，倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则 $△ F A B$ 的周长为 $($ $)$

A、10 B、12 C、16 D、20

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3. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2016}}$ 等于（）

A、 $\frac{2016}{2017}$ B、 $\frac{2015}{2016}$ C、 $\frac{4030}{2016}$ D、 $\frac{4032}{2017}$

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点是F₁、F₂ ， P是椭圆上一点，若|PF₁|=2|PF₂|，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ C、 $[\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1)$

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5. P是双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右支上一点，M、N分别是圆 ${(x + 5)}^{2} + y^{2} = 4$ 和 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的点，则 $| P M | - | P N |$ 的最大值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 已知正数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + 2 x y - 3 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{9} = 1$ ， $S_{18} = 0$ ，当 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点为F，过点F作直线 $l$ 交抛物线于M，N两点，则 $\frac{| N F |}{9} - \frac{4}{| M F |}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、- $\frac{2}{3}$ C、- $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c} ， \vec{B C} = \vec{b}$ ，则下列向量与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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10. 点 $P (- 3 ， 1)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左准线上，过点 $P$ 且方向为 $\vec{a} = (2 ， - 5)$ 的光线，经直线 $y = - 2$ 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

11. 在 $△ A B C$ 中，D在线段 $A B$ 上，且 $A D = 5, B D = 3$ 若 $C B = 2 C D, \cos ∠ C D B = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则（）

A、 $\sin ∠ C D B = \frac{3}{10}$ B、 $△ A B C$ 的面积为8 C、 $△ A B C$ 的周长为 $8 + 4 \sqrt{5}$ D、 $△ A B C$ 为钝角三角形

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12. 若 $x \geq y$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $2^{x} \geq 2^{y}$ B、 $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$ C、 $x^{2} \geq y^{2}$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$

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三、填空题

13. $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C =$

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14. 如图所示，在侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三棱锥 $V - A B C$ 中， $∠ A V B = ∠ B V C = ∠ C V A = 40^{\circ}$ ，过 $A$ 作截面 $A E F$ ， $△ A E F$ 周长的最小值为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} - a_{n} = \frac{4}{a_{n + 1} + a_{n}}$ ，若数列 ${\frac{1}{a_{n + 1} + a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为5，则 $n =$ ．

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16. 如图， $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点， $A$ 和 $B$ 是以 $O$ 为圆心，以 $| O F_{1} |$ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 $Δ F_{2} A B$ 是等边三角形，则双曲线的离心率为．

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17. 已知 $a > b$ ，关于x的不等式 $a x^{2} + 2 x + b \geq 0$ 对于一切实数x恒成立，又存在实数 $x_{0}$ ，使得 $a x_{0}^{2} + 2 x_{0} + b = 0$ 成立，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值为.

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四、解答题

18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $1$ 的递减数列，且 $a_{3} + a_{4} = 6 a_{5}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在平面直角坐标系中，曲线 $Γ$ ： $F (x ， y) = 0$ 和函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图像关于点 $(1 ， 2)$ 对称.

(1)、函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图像和直线 $y = k \cdot x + 4$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 是坐标原点，求证： $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ；

(2)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(3)、对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线 $Γ$ 为抛物线.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $c \sin A = a \sin (C + \frac{π}{3})$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；

（Ⅱ）若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $a - b = 1$ ，求 $c$ 和 $\cos (2 A - C)$ 的值.

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21. 已知圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $Q$ $(1 ， 1)$ 作圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，求直线 $A B$ 被曲线 $C$ 截得的弦的中点坐标.

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22. 已知棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 60 ˚$ ， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 90 ˚$ ， $A A_{1} = A C = C C_{1} = \frac{A_{1} C_{1}}{2}$ ，D，E分别是 $B C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $D E ⊥ B_{1} C_{1}$ ；

（Ⅱ）求 $D E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值．

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