广东省汕尾市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x < 0}$ ， $B = {x | 2 x - 1 \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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2. 若 $k \in R$ ，则“ $k > 1$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{k - 1} + \frac{y^{2}}{2 - k} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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3. 已知 $\sin x = - \frac{1}{3}$ ，且 $x$ 为第四象限角，则 $\sin 2 x$ =（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\pm \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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4. 已知直线 $x + m y + 6 = 0$ 和 $(m - 2) x + 3 y + 2 m = 0$ 互相平行，则实数 $m$ 的取值为（）

A、-1或3 B、-1 C、-3 D、1或-3

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 3) ， \vec{c} = (4 ， 5) ， (2 \vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{c} ，$ 则 $λ =$ （）

A、-4 B、4 C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{5} = S_{7}$ ，则 $a_{1}$ =（）

A、9 B、-9 C、11 D、-11

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7. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{15}}{5} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有公共焦点，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{10} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

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8. 已知 $a \in R^{+}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $x + \frac{a}{x + 1} \geq 3$ 在 $x \in (- 1 ， + \infty)$ 上恒成立，则 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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二、多选题

9. 命题 $p$ ：“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ ”，命题 $q$ ：“ $\exists x \in R$ ， $\sin x = 1$ ”，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land ({}^{\neg}q)$ C、 $({}^{\neg}p) \lor q$ D、 $({}^{\neg}p) \lor ({}^{\neg}q)$

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10. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = x^{2} + 1$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = \ln | x |$

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11. 对某公路汽车行驶速度抽出了一个容量为n的样本进行调查，画出如下频率分布直方图.若样本中车速在 $[60 ， 70)$ （单位：km/h）有45辆，则下列说法正确的是（）

A、样本中车速在 $[70 ， 75)$ （单位：km/h）的频率为0.04 B、样本中车速超过80km/h的车辆数为105 C、根据直方图估计该样本的众数为77.5 D、根据直方图估计该样本的中位数为77

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12. 如图，在棱长为2的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $P 、 M 、 N$ 分别是 $A A_{1} 、 A B 、 A D$ 的中点，对角线 $A C_{1}$ 与平面 $P M N$ 交于点 $H$ ，下列说法正确的是（）

A、 $A C_{1} = 2 \sqrt{6}$ B、 $A H = \frac{1}{6} A C_{1}$ C、直线 $A C_{1}$ 和直线 $B B_{1}$ 所成角的余弦值等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $A - B_{1} D_{1} C$ 的体积是平行四六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积的 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 某校有学生2000人，其中高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取一个100人的样本，则样本中高三学生的人数为.

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14. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为：

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15. 若 $A ， B ， C ， D$ 四点在球 $O$ 的表面上， $A B ⊥ 面 B C D$ ， $B C ⊥ B D$ ， $B C = 1 ， B D = 2 ， A B = 3$ ，则球 $O$ 的表面积为

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16. 已知椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > c > 0 ， a^{2} = b^{2} + c^{2})$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，若以F₂为圆心， $b - c$ 为半径作圆F₂ ，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最大值不超过 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $(a + c)$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是

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四、解答题

17. 在① $\sqrt{3}$ acosB＝bsinA，②asin2B=bsinA，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在△ABC中，b＝2，

(1)、求∠B；

(2)、若c＝2a，求△ABC的面积．

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1}$ =2， $S_{7} = 35$ .首项为1的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} > 0 (n \in N^{*})$ 且 $b_{2} ， b_{4} + 1 ， b_{5}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (2 ， m)$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| M F |$ =3.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 经过点 $F$ 且与抛物线C相交于 $A 、 B$ 两点．若线段 $A B$ 的中点 $N$ 在直线 $y = 2$ 上，求直线 $l$ 的方程.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ D C$ ， $A B / / D C$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点E是 $P B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P D = \sqrt{5}$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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21. 2020年1月至5月百货公司某商品的销量

x

（万件）与利润

y

（万元）的统计数据如下表：

月份	1	2	3	4	5
销量 $x$ （万件）	7	11	13	12	15
利润 $y$ （万元）	14	25	30	26	35

参考公式： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ .

(1)、从这5个月中任选两个月，记利润分别为

a

万元，

b

万元，求事件“

a

、

b

都小于30”的概率；

(2)、从这5个月中任选两个月，若选取的是1月和5月这两组数据，请根据这5个月中另3月的数据，求出

y

关于

x

的线性回归方程

\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}

；

(3)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过0.5万元，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）所得到的线性回归方程是否可靠？

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22. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸，可折出一个椭圆.

步骤1：设圆心是F，在圆内不是圆心处取一点，标记为E；

步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点E，此时圆周上与点E重合的点标记为G；

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时GF与折痕交于点P；

步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点P，所有交点P组成的图形便是一个椭圆．

现已知圆形纸片的半径为4，定点E到圆心F的距离为2， $O$ 为EF中点，所有交点P组成的椭圆记为 $C$ .

(1)、以EF所在的直线为x 轴，以O为原点建立平面直角坐标系，求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A， $B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，试问点 $O$ 到直线 $l$ 的距离是否为定值?如果是定值，则求该定值；如果不是定值，则说明理由．

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