广东省汕头市潮阳区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x > 0} ， B = {x | x^{2} + 3 x - 4 > 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B$ 等于（）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x | 1 < x \leq 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

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2. 根据下表样本数据

$x$

6

8

9

10

12

$y$

6

5

4

3

2

用最小二乘法求得线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.7 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a}$ 的值为（）

A、10.2 B、10.3 C、10.4 D、10.5

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3. “ $m = 10$ ”是“椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 焦距为4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，若 $a_{m + 1} + a_{m} + a_{m - 1} = 18$ ，且 $S_{m} = 28$ ，则 $m$ 的值为（）

A、7 B、8 C、14 D、16

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5. 若 $tan θ = 2$ ，则 $cos2 θ =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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6. 已知 $a = 3^{0.2}$ ， $b = {0.5}^{3}$ ， $c = \log_{3} 0.7$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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7. 已知圆锥的底面半径为 $R$ ，高为 $4 R$ ，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（）

A、 $22 π R^{2}$ B、 $\frac{9}{4} π R^{2}$ C、 $\frac{8}{3} π R^{2}$ D、 $\frac{5}{2} π R^{2}$

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8. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，蹴最早系外包皮革、内饰米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”的表面上有四个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 满足 $A B = C D = 9 cm$ ， $B D = A C = 15 cm$ ， $A D = B C = 13 cm$ ，则该“鞠”的表面积为（） ${cm}^{2}$ .

A、 $\frac{475}{2} π$ B、235π C、 $\frac{465}{2} π$ D、230π

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二、多选题

9. 已知曲线 $C ： m x^{2} - n y^{2} = 1$ （）

A、若 $m = 0$ ， $n < 0$ ，则 $C$ 是两条直线 B、若 $m = n < 0$ ，则 $C$ 是圆，其半径为 $\sqrt{- n}$ C、若 $m > - n > 0$ ，则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $x$ 轴上 D、若 $m n > 0$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{\frac{m}{n}} x$

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10. 已知 $α ， β$ 是两个不重合的平面， $m ， n$ 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ， $m ⊄ α$ ，则 $m // α$ B、若 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = m$ ， $n \subset γ$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / n ， α / / β$ ，则 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12})$ 单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{7}{6} π ， 0)$ 对称 D、 $y = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的最小值为 $- \sqrt{2}$

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $O$ 为 $A B$ 中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A P B = 90 °$ ， $P A = P B = 2$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $P C = 2$ B、若 $△ A B C$ 为等边三角形，则 $A P ⊥ B C$ C、当 $∠ A C B = 90 °$ 时， $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的范围为 $(0 ， \frac{π}{4}]$ D、当 $P C = 4$ 时， $M$ 为平面 $P B C$ 内动点，若 $O M //$ 平面 $P A C$ ，则 $M$ 在三角形 $P B C$ 内的轨迹长度为2

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三、填空题

13. 若 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且满足 $f (x) = f (x + 3)$ ，若当 $x \in (0 ， \frac{3}{2})$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f (2021) =$ .

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15. 已知抛物线： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $l$ 于点 $E$ ，且 $∠ P F E = 60 °$ ， $| P F | = 6$ ，则抛物线 $C$ 的方程为.

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16. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，P是双曲线上任意一点，过 $F_{1}$ 的直线与 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程；M在曲线E上，点 $A (8 ， 0)$ ， $B (5 ， 6)$ ，则 $\frac{1}{2} | A M | + | B M |$ 的最小值.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知向量 $\vec{m} = (\cos \frac{3 A}{2} ， \sin \frac{3 A}{2})$ ， $\vec{n} = (\cos \frac{A}{2} ， \sin \frac{A}{2})$ ，且满足 $| \vec{m} + \vec{n} | = \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若___________在① $S_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ ；② $2 S_{n} = a_{n + 1} - 3$ ， $a_{1} = 3$ 这两个条件中任选一个填入上面的横线上并解答.注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(1)、证明 ${a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，且 $T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + {\frac{1}{b_{3} b}}_{4} + ........ + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，证明 $T_{n} < 1$ .

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19. 已知半径为2的圆 $C$ 与直线 $l_{1}$ ： $4 x + 3 y + 10 = 0$ 相切，且圆心在 $x$ 轴非负半轴上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l_{2}$ ： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，分别过 $A$ ， $B$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线与 $x$ 轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ .

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20. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 ° ， A_{1} A = A_{1} C = A C ， E ， F$ 分别是 $A C ， A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值.

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21. 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间 $n$ 个月的二次函数 $g (n) = n^{2} + k n (k$ 是常数 $)$ ，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元．

(1)、求前6个月的累计生产净收入g(6)的值；

(2)、问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2 ， 1)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆C的左、右焦点且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 1$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线 $l_{2}$ 平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线x＝2交于点M（M介于A、B两点之间）．
（I）当△PAB面积最大时，求 $l_{2}$ 的方程；

（II）求证： $| P A | | M B | = | P B | | M A |$ .

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$x$	6	8	9	10	12
$y$	6	5	4	3	2