广东省揭阳市揭东县2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 ${x | k π < x \leq \frac{π}{4} + k π ， k \in Z}$ ， $B = {x | - \sqrt{3} < x < \sqrt{3}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - \sqrt{3} < x < 0}$ B、 ${x | - \sqrt{3} < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < \sqrt{3}}$ D、 ${x | - 2 < x < 0}$

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2. 若向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (x ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 设 $a = 3^{- 5}$ ， $b = \log_{3} 0.2$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{9}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上点 $M (4 ， m)$ 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）

A、 $x = - 4$ B、 $x = 4$ C、 $x = - 2$ D、 $x = 2$

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6. 已知 $f (x) = \lg (10 + x) + \lg (10 - x)$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、偶函数，且在 $(0 ， 10)$ 是增函数 B、奇函数，且在 $(0 ， 10)$ 是增函数 C、偶函数，且在 $(0 ， 10)$ 是减函数 D、奇函数，且在 $(0 ， 10)$ 是减函数

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7. 在直角坐标系 $x O y$ 中，设 $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点， $P$ 为双曲线 $C$ 的右支上一点，且△ $O P F$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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8. 在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段 $A B$ 长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段 $A B$ 的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为 $β$ ，卫星高度角为 $α$ ，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（）

A、 $\frac{L (\tan α - \tan β)}{\tan α \cdot \tan β}$ B、 $\frac{L \tan α \tan β}{\tan α - \tan β}$ C、 $\frac{L \tan α \tan β}{\tan (α - β)}$ D、 $\frac{L \tan (α - β)}{\tan α \tan β}$

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二、多选题

9. 某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论正确的是（）

A、 $x = 8$ B、甲得分的平均值为26 C、 $y = 26$ D、乙得分的方差小于甲得分的方差

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10. 下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“任意 $x \in R$ ，则 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“存在 $x \in R$ ，则 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”． C、“ $x \geq 6$ ”是“ $2^{x} \geq 32$ ”的充分不必要条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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11. 设 $l$ ， $m$ ， $n$ 表示三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示三个不同的平面，给出下列四个选项中正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $m // l$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ ； B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n // α$ ； C、若 $m$ ， $n$ 为异面直线， $m // α$ ， $n // α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ ； D、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ，则 $γ ⊥ β$ ．

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12. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则有（）

A、 $S_{n} = 3^{n - 1}$ B、 ${S_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， & n = 1 ， \\ 2 \cdot 3^{n - 2} ， & n \geq 2 \end{array}$

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三、填空题

13. 若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m =$ ．

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14. 若 $Δ A B C$ 的三边长为2，3，4，则 $Δ A B C$ 的最大角的余弦值为．

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15. 若实数x ， y满足 $\log_{3} x + \log_{3} y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A D = A A_{1}$ ，且 $C_{1} D$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角为60°，则直线 $C_{1} D$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 所成的角的正弦值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ， $N = {x | x - a > 0}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $M \cap N$ ， $M \cup N$ ；

(2)、若 $x \in M$ 是 $x \in N$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，若 $a_{4} = 9$ ， $S_{4} = 24$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列（1）（2）两问的解答.
① $\frac{\sin A - \sin C}{b} = \frac{\sin A - \sin B}{a + c}$ ；② $2 c \cos C = a \cos B + b \cos A$ ．

(1)、求角 $C$

(2)、若 $c = \sqrt{5}$ ， $a + b = \sqrt{11}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．
（若①②条件都选，按①计分）

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20. 在底面是正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 1$ ， $P B = P D = \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在 $P D$ 上，且 $P E ： E D = 2 ： 1$ .

（Ⅰ）求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $D - A C - E$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $y = t x^{2} - 6 x + t^{2}$ ，问答以下问题：

(1)、若 $x \in R$ ，且 $t = 1$ ，求该函数的最小值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $t x^{2} - 6 x + t^{2} < 0$ 的解集为 ${x | x < a$ 或 $x > 1}$ ，求 $a$ 的值；

(3)、求关于 $x$ 的不等式： $t x^{2} - 6 x + t^{2} > (t - 4) x + t^{2} - 2$ 的解集．

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22. 已知椭圆的两个焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，过 $F_{1}$ 且与坐标轴不平行的直线 $m$ 与椭圆相交于 $M$ ， $N$ 两点，如果 $△ M N F_{2}$ 的周长等于8．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若过点 $(1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于不同两点 $P$ ， $Q$ ，试问在 $x$ 轴上是否存在定点 $E (m ， 0)$ ，使 $\vec{P E} \cdot \vec{Q E}$ 恒为定值？若存在，求出 $E$ 的坐标及定值；若不存在请说明理由．

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