广东省惠州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ，则 $f^{'} (e) =$ （）

A、0 B、1 C、 $e$ D、 $\frac{1}{e}$

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0$ 的位置关系为（）

A、相交 B、内含 C、相离 D、外切

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3. 将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）

A、甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙 B、甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C、甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D、甲乙两队得分的极差相等

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4. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

A、623 B、328 C、253 D、530

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为R上的可导函数，则“ $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值”是 $f^{'} (1) = 0$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 从抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为 $M$ 且 $| P M | = 5$ ，设抛物线的焦点为F，则 $Δ M P F$ 的面积为（）

A、6 B、8 C、15 D、10

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7. 下列说法中正确的是（）

A、若事件A与事件B是互斥事件，则 $P (A) + P (B) = 1$ ； B、若事件A与事件B满足条件： $P (A \cup B) = P (A) + P (B) = 1$ ，则事件A与事件B是对立事件； C、一个人打靶时连续射击两次，则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件； D、把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件．

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8. 已知 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，若椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ 使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = c^{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{5}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\sqrt{3} - 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C$ 上的点到 $(2 ， 0)$ 和 $(- 2 ， 0)$ 的距离之差的绝对值为 $2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的标准方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ C、 $C$ 的焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ D、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $C$ 恰有两个公共点

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、四边形 $A B C_{1} D_{1}$ 的面积为 $| \vec{A B} | | \vec{B C_{1}} |$ B、 $\vec{A D_{1}}$ 与 $\vec{A_{1} B}$ 的夹角为60° C、 ${(\vec{A A_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}})}^{2} = 3 {(\vec{A_{1} B_{1}})}^{2}$ D、 $\vec{A_{1} C} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A_{1} D_{1}}) = 0$

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11. 某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，则下列叙述正确的有（）

A、乙的六大能力中记忆能力最差 B、乙的创造能力优于甲的创造能力 C、甲的空间能力优于计算能力 D、乙的六大能力整体水平低于甲

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12. 对于函数 $f (x) = \frac{1 - \ln x}{x}$ ，下列说法正确的有（）．

A、 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极大值 $\frac{1}{e}$ B、 $f (x)$ 有两不同零点 C、 $f (2) < f (π) < f (3)$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则 $k > 1$

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三、填空题

13. 某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是．

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14. 已知圆 $C$ 的半径为1，圆心在第一象限，与 $y$ 轴相切，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = \sqrt{3}$ ，则该圆的一般方程是.

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15. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点到双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线的距离为

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16. 已知函数 $h (x)$ 、 $g (x) (g (x) \neq 0)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，当 $x < 0$ 时， $h^{'} (x) g (x) - h (x) g^{'} (x) < 0$ ； $h (- 1) = 0$ ，且 $\frac{h (a)}{g (a)} < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是，又知函数 $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ ，且不等式 $f (a) > m$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知点 $M (3 ， 5)$ ，圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、求过点M的圆的切线方程；

(2)、若直线 $a x - y + 4 = 0$ 与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值．

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18. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位.某大学为了解学生对民法典的认识程度，选取了120人进行测试，测试得分情况频率分布直方图如图所示.

(1)、试求出图中实数a的值，并估算出测试平均分成绩；

(2)、如果在 $[80 ， 90)$ 中抽取3人，在 $[90 ， 100]$ 中抽取2人，再从抽取的5人中随机选取2人，那么选取的2人中恰好1人成绩落在 $[90 ， 100]$ 的概率是多少?

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最大值和最小值.

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20. 某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了2019年9月至2020年1月每月8号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期	2019年9月8日	2019年10月8日	2019年11月8日	2019年12月8日	2020年1月8日
昼夜温差 $x (℃)$	5	8	12	13	16
就诊人数y	10	16	26	30	35

该医务室确定的研究方案是先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.假设选取的是2019年9月8日与2020年1月8日的2组数据.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求就诊人数y关于昼夜温差

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

（结果精确到0.01）

(2)、若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过3人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？

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21. 如图，已知三棱锥 $E - A B C$ 中， $△ A B C$ 为正三角形， $A B = E C = 2$ ， $A E = B E = \sqrt{2}$ .

(1)、求证：平面 $E A B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $A - E C - B$ 的余弦值.

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22. 如图，抛物线 $C$ 与椭圆 $E$ 相交于两点 $P (\sqrt{6} ， 1)$ 、 $Q (- \sqrt{6} ， 1)$ ，线段 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $R$ ，椭圆 $E$ 短轴的两个端点分别是 $A$ 、 $B$ ，且 $\vec{B R} = 3 \vec{R A}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 与椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设 $T$ 是线段 $P Q$ 上不同于点 $R$ 的任意一点，直线 $A T$ 、 $B T$ 分别交椭圆 $E$ 于点 $M$ 、 $N$ ，求证：直线 $M N$ 过定点，并求出该定点的坐标.

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