广东省广州市越秀区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\frac{1 + 2 i}{1 - 2 i} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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2. “ $x > 2$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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4. 已知 $\overset{⇀}{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $l$ 为一条直线，则“ $l ⊥ \overset{⇀}{n}$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f' (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $x = 1$ 是最小值点 B、 $x = 0$ 是极小值点 C、 $x = 2$ 是极小值点 D、函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上单调递增

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $A B = B C = a$ ， $A A_{1} = \sqrt{3} a$ ，则异而直线 $A C_{1}$ 与 $C D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，已知 $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{P C} = \vec{c}$ ， $\vec{P E} = \frac{1}{2} \vec{P D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c}$

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8. 如图所示， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P在椭圆上，△ $P O F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，则 $b^{2}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - \ln x - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 椭圆与双曲线共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，它们的交点为 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ .若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{13 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 方程 $(2 - t) x^{2} + (t - 1) y^{2} = 1$ 的图象表示曲线 $C$ ，有以下四个结论：
①当 $t = \frac{3}{2}$ 时，曲线 $C$ 是圆；②当 $1 < t < 2$ 时，曲线 $C$ 是椭圆；③当 $t > 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线；④当 $t = 2$ 时，曲线 $C$ 是抛物线．其中结论正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{cases} ， g (x) = f (x) - x - a$ ，若 $g (x)$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < - 2$ B、 $a < - 1$ C、 $a > 1$ D、 $a > 2$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (t ， 2 ， - 1)$ ， $t \in R$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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14. 已知物体的运动方程为s=t²+ $\frac{3}{t}$ （t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为．

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15. 在平面直角坐标系中，经过点 $P (2 \sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ 的双曲线的标准方程为．

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16. 若 $g (x) = a x - \frac{a}{x} - 5 \ln x (a \in R)$ 在其定义域内为增函数，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求线段BP的长．

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18. 已知焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ ，且过点 $(\sqrt{6} ， \sqrt{2})$ ．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - 1$ 与双曲线C交于A，B两点，求弦长 $| A B |$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{a}{x} (x > 0)$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[1 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A // B E$ ， $B E = 2$ ， $A B = P A = 4$ ．

(1)、求直线PD与平面PCE所成角的正弦值；

(2)、在棱AB上是否存在一点F，使得二面角E-PC-F的大小为60°？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $Q$ ， $M$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $M P$ 和 $M Q$ 与 $x$ 轴分别相交于点 $E$ 和点 $F$ ， $O$ 为坐标原点．证明： $| O E | \cdot | O F |$ 为定值．

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22. 已知 $g (x) = \ln x + x - x^{2}$ ， $h (x) = x e^{x} - a x^{2} - a g (x)$ ．

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时， $h (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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