广东省广州市天河区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1 ， 1)$ ，则 $\frac{z}{i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $- 1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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2. 设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知各项不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{6} - a_{7}^{2} + a_{8} = 0 ，$ 数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{7} = a_{7} ，$ 则 $b_{2} b_{7} b_{12}$ 等于（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，设 $1 + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + \cdot \cdot \cdot + a_{2019} = a_{k}$ ，则 $k =$ （）

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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5. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 1 \leq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \end{array} ，$ 则z=x+2y的取值范围是（）

A、(-∞，5] B、(-∞，7] C、[7，+∞) D、[5，+∞)

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6. 下列叙述正确的是（）

A、已知命题p：∃x∈R，使得 $x^{2} + x + 1 < 0 ，$ 则 $\neg p$ ：∀x∈R，均有 $x^{2} + x + 1 > 0$ B、命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题 C、“x>2”是“ $x^{2} > 4$ ”的必要不充分条件 D、已知命题p：∀x∈R， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ；命题q： $\exists x_{0} \in [0 ， \frac{π}{2}] ，$ $\sin x_{0} + \cos x_{0} = \sqrt{2} ，$ 则 $p \land q$ 为真命题

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7. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，该项目由长方形核心喷泉区 $A B C D$ （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区 $A B C D$ 的面积为 $1000 m^{2}$ ，绿化带的宽分别为 $2 m$ 和 $5 m$ （如图所示）.当整个项目占地 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 面积最小时，则核心喷泉区 $B C$ 的长度为（）

A、20m B、50m C、 $10 \sqrt{10} m$ D、100m

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 过 $F_{2}$ 的直线分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点.若点M是线段 $F_{2} N$ 的中点，且 $\vec{N F_{1}} \cdot \vec{N F_{2}} = 0 ，$ 双曲线C的渐近线方程为（）

A、y=±2x B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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二、多选题

9. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = i$ $($ $i$ 为虚数单位 $)$ ，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $| z | = \frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{1 + 2 i}{5}$ C、复数 $z$ 的实部为-1 D、复数 $z$ 对应复平面上的点在第二象限

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10. 下列叙述正确的是（）

A、若a，b，c∈R，且a>b，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若实数 $0 < x < \frac{1}{4} ，$ 则x(1-2x)的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、已知 $x^{2} - 5 a x + b > 0$ 的解集为{x|x>4或x<1}，则a+b=5 D、对于∀x∈ $R ， a x^{2} + 4 x \geq 2 x^{2} - 1$ 恒成立，则实数a的取值范围是[6，+∞)

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11. 在四面体P-ABC中，以下说法错误的是（）

A、若四面体P-ABC各棱长都相等，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A C} = 0$ B、若四面体P-ABC各棱长都为2，M，N分别PA，BC的中点，则 $| \vec{M N} | = 1$ C、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B} ，$ 则 $\vec{B C} = 2 \vec{B D}$ D、若Q为△ABC的重心，则 $\vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{P A} + \frac{1}{3} \vec{P B} + \frac{1}{3} \vec{P C}$

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12. 已知抛物线E：y²＝4x的焦点为F，准线为l，过F点的直线与抛物线E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是（）

A、∠CFD＝90° B、直线AB的斜率为 $\pm \sqrt{3}$ C、△CMD为等腰直角三角形 D、线段AB的长为 $\frac{16}{3}$

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三、填空题

13. 不等式 $- x^{2} + 5 x + 6 < 0$ 的解集为.

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14. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点，且 $P F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，若 $| F_{1} F_{2} | = 2 | P F_{2} |$ ，则该椭圆的离心率为．

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15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别是棱 $B C$ ， $D D_{1}$ 上的点，如果 $B_{1} E ⊥$ 平面 $A B F$ ，则 $C E$ 与 $D F$ 之和为.

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16. 已知首项均为 $\frac{3}{2}$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 与等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{3} = - b_{2} ， a_{4} = b_{3}$ ，且 ${a_{n}}$ 的各项均不相等，设 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，则 $S_{n}$ 的最大值与最小值之差的绝对值为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $4 a_{n} - 3 S_{n} = 3 ，$ 其中 $n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{3} a_{n} - 4 n + 1 ，$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n} .$

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AB=BC=CA=2， $A A_{1} = \sqrt{2} ，$ 若N为AB的中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $N B_{1} C$ ；

(2)、求 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $N B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} a \sin B - b \cos B \cos C = c \cos^{2} B .$

(1)、求角B的值；

(2)、若 $A = \frac{π}{6} ，$ 且△ABC的面积为 $7 \sqrt{3} ，$ 求BC边上的中线AM的长.

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20. 设O为坐标原点，已知直线l：ax-y-2a=0经过抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F，且直线l交抛物线 $C_{1}$ 于A，B两点.

(1)、求P的值；

(2)、求直线OA､OB的斜率之积.

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21. 如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥 $D_{1} - A B C M$ (如图2)，使得平面 $A M D_{1} ⊥$ 平面ABCM.

(1)、求证： $A D_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、若点E是线段 $D_{1} B$ 上的一动点，当点E在何位置时，二面角 $E - A M - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17} .$

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22. 设抛物线 $C_{1} ： y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的准线l与x轴交于椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F₂ ， F₁为椭圆C₂的左焦点，且椭圆C₂的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、当 $\frac{a}{2} + \frac{1}{b}$ 取最小值时，求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，设直线l： $y = k x + m (m \neq 0)$ 交椭圆 $C_{2}$ 于A，B两点，若射线BO(O为坐标原点)交椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 4$ 于点Q，求 $△ A Q B$ 面积的最大值.

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