广东省广州市荔湾区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a < b < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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2. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $2 a_{8} = 6 + a_{11}$ ，则 $a_{1} + a_{9}$ 等于（）

A、54 B、12 C、10 D、6

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0) ， \vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，且 $\vec{c} = (4 ， 6 ， 4)$ 与 $k \vec{a} + \vec{b}$ 平行，则 $k$ 的值是（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、-3 D、3

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4. 等比数列{a_n中，首项为a₁ ，公比为q，则a₁＞0且0＜q＜1是数列{a_n单调递减的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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5. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（）万元．（参考数据： ${1.02}^{7} \approx 1.149 ， {1.02}^{8} \approx 1.172$ ）

A、5.3 B、4.6 C、7.8 D、6

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6. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与椭圆 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ 有相同的焦点 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 为双曲线与椭圆的一个交点，且满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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7. 已知 ${\begin{cases} 1 \leq x + y \leq 3 \\ - 1 \leq x - y \leq 1 \end{cases}$ ，则 $4 x + 2 y$ 取值范围是（）

A、 $[0 ， 12]$ B、 $[2 ， 10]$ C、 $[0 ， 10]$ D、 $[2 ， 12]$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作一条渐近线的垂线，垂足为点 $A$ ，与另一渐近线交于点 $B$ ，若 $\vec{F_{1} B} = 3 \vec{A F_{1}}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、多选题

9. 以下四个命题中，真命题的是（）

A、“若 $α = \frac{π}{6}$ ，则 $\sin α = \frac{1}{2}$ ”的否命题是“若 $α = \frac{π}{6}$ ，则 $\sin α \neq \frac{1}{2}$ ” B、若 $m > 0$ ，则方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实数根 C、若 $p \lor q$ 为真命题， $\neg p$ 为真命题，则 $p \lor (\neg q)$ 是真命题 D、“ $| x - 1 | < 1$ ”是“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的充分而不必要条件

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10. 已知三棱锥 $O - A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $O A$ ， $B C$ 的中点， $P$ 为线段 $E F$ 上一点，且 $P F = 2 E P$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{O F} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{E P} = - \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ C、 $\vec{F P} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，经过 $F$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，过点 $A 、 B$ 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 $A_{1} 、 B_{1}$ ，则以下四个结论正确的是（）

A、 $y_{1} y_{2} = - 4$ B、 $x_{1} x_{2} = 2$ C、 $∠ A_{1} F B_{1} = \frac{π}{2}$ D、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} = \frac{1}{2}$

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12. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = n + \frac{1}{2^{n}} - 1$ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = n (1 - a_{n})$ ，且 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，则以下说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列 B、数列 ${b_{n}}$ 是递增数列 C、 $T_{n} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$ D、 $S_{n} ⩾ T_{n}$

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三、填空题

13. 命题“对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} \geq 0$ ”的否定为．

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} - (1 - m) x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长均为2， $P$ 是 $A_{1} B$ 的中点，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $P C$ 所成角的余弦值等于．

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16. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 $4800 m^{3}$ ，深为 $3 m$ ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则建造这个水池的最低总造价是元．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x - 10 ⩽ 0} ， B = {x ∣ x^{2} - 2 m x - 3 m^{2} ⩽ 0 ， m > 0}$ ．

(1)、求集合 $A 、 B$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的_________条件，试判断实数 $m$ 是否存在，若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由．
请在：①充要条件，②充分不必要条件，③必要不充分条件，这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，并解决问题（2）．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 经过点 $(- 1 ， 0)$ 且倾斜角为45°的直线与抛物线 $y^{2} = - x$ 相交于 $A 、 B$ 两点，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、求证： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、求线段 $A B$ 的长．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $(n + 1) a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} = (n + 1) (n + 2) (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 4$ ．

(1)、求 $a_{2} 、 a_{3}$ 的值，并证明数列 ${\frac{a_{n}}{n + 1}}$ 为等差数列；

(2)、令 $S_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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20. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5t，乙材料1t，用50个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5t，乙材料0.3t，用30个工时，生产一件产品A的利润为21万元，生产一件产品B的利润为0.9万元．该企业现有甲材料150t，乙材料90t，且规定不能超过6000个工时．设生产x件产品A， y件产品B．

(1)、写出关于xy的线性约束条件，并在给出的坐标系中作出可行域；

(2)、如何安排生产，才能使得生产产品A、产品B的利润之和z取得最大？并求z的最大值．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B ， A B / / D C ， A D = D C = A P = 2 ， A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B E ⊥ P D$ ；

(2)、若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F ⊥ A C$ ，求二面角 $F - A B - D$ 的余弦值．

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22. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，且椭圆 $M$ 的上顶点与右焦点所在直线的斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、设 $B 、 C$ 是椭圆上异于左顶点 $A$ 的两个点，若以 $B C$ 为直径的圆过点 $A$ ，求证：直线 $B C$ 过定点．

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